Calcule o gradiente das seguintes funções:
(f) f(x, y, z)=x y e^z+y z e^x

Passo 1

A função dada é f(x,y,z)=x y e^z + y z e^x. O conteúdo é gradiente de função em R^3 e vamos precisar de derivadas parciais.

Passo 2

O gradiente de f é o vetor de derivadas parciais: nabla f = (partial f/partial x,,partial f/partial y,,partial f/partial z).

Passo 3

Para calcular partial f/partial x, derivamos cada termo de f em relação a x, tratando y e z como constantes: de x y e^z vem y e^z e de y z e^x vem y z e^x. Logo partial f/partial x = y e^z + y z e^x.

Passo 4

Para calcular partial f/partial y, derivamos f em relação a y, com x e z fixos: de x y e^z vem x e^z e de y z e^x vem z e^x. Logo partial f/partial y = x e^z + z e^x.

Passo 5

Para calcular partial f/partial z, derivamos f em relação a z, com x e y fixos: de x y e^z vem x y e^z e de y z e^x vem y e^x. Logo partial f/partial z = x y e^z + y e^x.

Resposta

[\n\nabla f(x,y,z)=\bigl(y e^{z} + y z e^{x}, x e^{z} + z e^{x}, x y e^{z} + y e^{x}\bigr)\n]

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