Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
f(x)=|sin x|, -pi;

Passo 1

Temos a função f(x)=|sin x| definida em (−π,π). O objetivo é identificar se f é par ou ímpar e depois obter sua série de Fourier de período 2π, que expressa f como soma de constantes e termos em cossenos e senos.

Passo 2

Calculamos a paridade: f(−x)=|sin(−x)|=|−sin x|=|sin x|=f(x). Portanto f é função par. Isso implica que sua série de Fourier não terá termos de seno (bₙ=0) e só usará termo constante e cossenos.

Passo 3

Para função par de período 2π, as fórmulas dos coeficientes são
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx=2piintegral0^pif(x),dx, an=2piintegral0^pif(x)cos(nx),dx, bn=0

Passo 4

Cálculo de a₀: como em [0,π] temos sin x ≥0, |sin x|=sin x, então
a0=2piintegral0^pisin x,dx=2pi[(-cos x)]0^pi=2pi(2)=4pi

Passo 5

Cálculo de a_n para n≥1: definindo I=∫₀^{π}sin x·cos(nx)dx, usamos a identidade
sin xcos(nx)=tfrac12[sin((n+1)x)+sin((1-n)x)],
integramos de 0 a π e obtemos
I=(-1)^n+1-1n^2-1
Logo
an=2pi I=2pi(-1)^n+1-1n^2-1

Passo 6

Note que se n é ímpar então (-1)^{n+1}=1 e a_n=0; se n é par, n=2m, então (-1)^{n+1}=-1 e
a2m=2pi(-2)4m^2-1=-4pi(4m^2-1)
Concluímos a série de Fourier:

Passo 7

f(x)=a02+summ=1^inftya2mcos(2m x)=2pi-4pisumm=1^inftycos(2m x)4m^2-1

Resposta

f(x)=|\sin x| é função par, e sua série de Fourier em (−π,π) é
f(x)=2pi-4pisumm=1^inftycos(2m x)4m^2-1

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