Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
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Passo 1
Temos a função f(x)=|sin x| definida em (−π,π). O objetivo é identificar se f é par ou ímpar e depois obter sua série de Fourier de período 2π, que expressa f como soma de constantes e termos em cossenos e senos.
Passo 2
Calculamos a paridade: f(−x)=|sin(−x)|=|−sin x|=|sin x|=f(x). Portanto f é função par. Isso implica que sua série de Fourier não terá termos de seno (bₙ=0) e só usará termo constante e cossenos.
Passo 3
Para função par de período 2π, as fórmulas dos coeficientes são
Passo 4
Cálculo de a₀: como em [0,π] temos sin x ≥0, |sin x|=sin x, então
Passo 5
Cálculo de a_n para n≥1: definindo I=∫₀^{π}sin x·cos(nx)dx, usamos a identidade
integramos de 0 a π e obtemos
Logo
Passo 6
Note que se n é ímpar então (-1)^{n+1}=1 e a_n=0; se n é par, n=2m, então (-1)^{n+1}=-1 e
Concluímos a série de Fourier:
Passo 7
Resposta
f(x)=|\sin x| é função par, e sua série de Fourier em (−π,π) é