Determine as integrais triplas:
integral triplaR f(x, y, x) d V, onde R=[a, b] times[c, d] times[p, q], onde f(x, y, z)=1;

Passo 1

O enunciado manda calcular a integral tripla de uma função constante sobre o paralelepípedo R=[a,b]×[c,d]×[p,q]. O conteúdo é integrais múltiplas em coordenadas cartesianas, e vamos usar o fato de que a integral de f(x,y,z)=1 sobre R é simplesmente o volume de R.

Passo 2

Para expressar a integral como iterada, escrevemos
$$\iiint_R 1 ,dV
= \int_a^b \int_c^d \int_p^q 1 ,dz,dy,dx$$

Passo 3

Começando a integrar em relação a z, temos uma função constante 1, então
integralp^q 1 ,dz = q - p

Passo 4

Substituindo no integral aninhado, fica
integrala^b integralc^d (q - p) ,dy,dx

Passo 5

Como (q−p) é constante em y, integrando em y:
integralc^d (q - p) ,dy = (q - p)(d - c)

Passo 6

Por fim, sobram x e constantes, então
integrala^b (q - p)(d - c) ,dx = (q - p)(d - c)(b - a)

Resposta

(b - a)(d - c)(q - p)

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