Usando coordenadas esféricas cal-
onde
é a bola com centro na origem e raio 2 .
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos calcular a integral tripla
, onde
é a bola de raio 2 centrada na origem. O conteúdo principal é mudança de coordenadas para o sistema esférico, reescrevendo o integrando em termos de
e usando o Jacobiano.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, cada ponto
se escreve
e note que
. O elemento de volume é
Passo 3
Substituindo na integral, o integrando
vira
e ainda vem o fator do Jacobiano. Assim a integral fica
Passo 4
Como a integral se separa, calculamos primeiro a parte angular:
Multiplicando, o fator angular total é
.
Passo 5
Agora fazemos a parte radial e combinamos tudo:
Multiplicando pelo fator angular, obtemos