Usando coordenadas esféricas cal-
integral triplaB(x^2+y^2+z^2)^2 d V
onde B é a bola com centro na origem e raio 2 .

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos calcular a integral tripla integral triplaB(x^2+y^2+z^2)^2,dV, onde B é a bola de raio 2 centrada na origem. O conteúdo principal é mudança de coordenadas para o sistema esférico, reescrevendo o integrando em termos de r,theta,phi e usando o Jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, cada ponto (x,y,z) se escreve
x = rsinthetacosphi, y = rsinthetasinphi, z = rcostheta
e note que x^2+y^2+z^2 = r^2. O elemento de volume é
dV = r^2sintheta,dr,dtheta,dphi

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando (x^2+y^2+z^2)^2 vira r^4 e ainda vem o fator do Jacobiano. Assim a integral fica
integralr=0^2integraltheta=0^piintegralphi=0^2pi r^4cdot r^2sintheta,dphi,dtheta,dr = integral0^2integral0^piintegral0^2pi r^6sintheta,dphi,dtheta,dr

Passo 4

Como a integral se separa, calculamos primeiro a parte angular:
integral0^2pidphi = 2pi,
integral0^pisintheta,dtheta = 2
Multiplicando, o fator angular total é 2pitimes2 = 4pi.

Passo 5

Agora fazemos a parte radial e combinamos tudo:
integral0^2 r^6,dr = r^77|0^2 = 2^77 = 1287
Multiplicando pelo fator angular, obtemos
4pi times 1287 = 512pi7

Resposta

512pi7

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