Calcule a integral imprópria
integral0^infty integral0^infty 11+x^2+y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla imprópria sobre o primeiro quadrante da função f(x,y)=11+x^2+y^2. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e análise de convergência de integrais improprias.

Passo 2

Fazemos a troca para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, com rin[0,infty) e thetain[0,tfracpi2]. O elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta. Assim a integral se torna
integral0^inftyintegral0^infty11+x^2+y^2,dx,dy=integral0^pi/2integral0^inftyr1+r^2,dr,dtheta

Passo 3

Analisamos a integral radial integral0^inftyr1+r^2,dr. Observamos que
integral0^Rr1+r^2,dr=12ln(1+r^2)|0^R=12ln(1+R^2)

Passo 4

Ao fazer Rtoinfty, temos 12ln(1+R^2)toinfty. Logo a parte radial diverge e, multiplicada pelo fator integral0^pi/2dtheta=tfracpi2, a integral dupla também diverge.

Resposta

A integral imprópria diverge (é infinita).

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