Resolva cada uma das integrais a seguir.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral dupla
Informações dadas:
, e para cada
a integração em
vai de
até
.
Pedido: obter o valor numérico dessa integral dupla.
Pedido: obter o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Primeiro integramos a função em relação a
, tratando
como constante (porque a integração interior é em
). Precisamos de uma primitiva de
em
.
A integral indefinida em
é
Aqui
é constante em relação a
, então
. E
. Logo a primitiva é
Passo 3
Agora avaliamos essa primitiva entre
(limite inferior) e
(limite superior):
Passo 4
Simplificando cada termo:
Substituindo e efetuando a subtração:
Portanto a integral interior dá a função de
Passo 5
Agora integramos
de
a
, termo a termo. As primitivas são simples potências:
As antiderivadas são
Logo
Passo 6
Avaliação em
(em
todos os termos são zero):
Para somar, usamos o mínimo múltiplo comum
:
Somando os sinais:
Passo 7
Simplificando
dividindo numerador e denominador por
:
Esse é o valor final da integral dupla. Parabéns — o resultado é pequeno e positivo, faz sentido porque na região de integração os valores se combinam para dar esse número.