Resolva cada uma das integrais a seguir.
\int_{0}^{1} \int_{x^{3}}^{x^{2}}\left(x^{2}-y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{x^{3}}^{x^{2}}\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
\;0\le x\le1, e para cada x a integração em y vai de y=x^{3} até y=x^{2}.
Pedido: obter o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Primeiro integramos a função em relação a y, tratando x como constante (porque a integração interior é em y). Precisamos de uma primitiva de \;x^{2}-y^{2} em y.
A integral indefinida em y é
\int (x^{2}-y^{2})\,dy = \int x^{2}\,dy - \int y^{2}\,dy.
Aqui x^{2} é constante em relação a y, então \int x^{2}\,dy = x^{2}y. E \int y^{2}\,dy = \dfrac{y^{3}}{3}. Logo a primitiva é
x^{2}y-\frac{y^{3}}{3}.

Passo 3

Agora avaliamos essa primitiva entre y=x^{3} (limite inferior) e y=x^{2} (limite superior):
\Bigl[x^{2}y-\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{y=x^{3}}^{y=x^{2}} = \left(x^{2}\cdot x^{2}-\frac{(x^{2})^{3}}{3}\right)-\left(x^{2}\cdot x^{3}-\frac{(x^{3})^{3}}{3}\right).

Passo 4

Simplificando cada termo:
x^{2}\cdot x^{2}=x^{4},\qquad \frac{(x^{2})^{3}}{3}=\frac{x^{6}}{3},
x^{2}\cdot x^{3}=x^{5},\qquad \frac{(x^{3})^{3}}{3}=\frac{x^{9}}{3}.
Substituindo e efetuando a subtração:
x^{4}-\frac{x^{6}}{3}-x^{5}+\frac{x^{9}}{3} = x^{4}-x^{5}-\frac{1}{3}x^{6}+\frac{1}{3}x^{9}.
Portanto a integral interior dá a função de x
f(x)=x^{4}-x^{5}-\frac{1}{3}x^{6}+\frac{1}{3}x^{9}.

Passo 5

Agora integramos f(x) de x=0 a x=1, termo a termo. As primitivas são simples potências:
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} x^{4}\,dx - \int_{0}^{1} x^{5}\,dx - \frac{1}{3}\int_{0}^{1} x^{6}\,dx + \frac{1}{3}\int_{0}^{1} x^{9}\,dx.
As antiderivadas são
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5},\quad \int x^{5}\,dx = \frac{x^{6}}{6},\quad \int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7},\quad \int x^{9}\,dx = \frac{x^{10}}{10}.
Logo
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \left[\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{6}}{6}-\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{7}}{7}+\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{10}}{10}\right]_{0}^{1}.

Passo 6

Avaliação em 1 (em 0 todos os termos são zero):
\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{7}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{10} = \frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{21}+\frac{1}{30}.
Para somar, usamos o mínimo múltiplo comum 210:
\frac{1}{5}=\frac{42}{210},\quad \frac{1}{6}=\frac{35}{210},\quad \frac{1}{21}=\frac{10}{210},\quad \frac{1}{30}=\frac{7}{210}.
Somando os sinais:
\frac{42}{210}-\frac{35}{210}-\frac{10}{210}+\frac{7}{210}=\frac{42-35-10+7}{210}=\frac{4}{210}.

Passo 7

Simplificando \dfrac{4}{210} dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{4}{210}=\frac{2}{105}.
Esse é o valor final da integral dupla. Parabéns — o resultado é pequeno e positivo, faz sentido porque na região de integração os valores se combinam para dar esse número.

Resposta

\dfrac{2}{105}

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