Resolva cada uma das integrais a seguir.
\int_{0}^{2} \int_{x^{2}-1}^{x^{2}+1}-x d y d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral dupla iterada
\int_{0}^{2}\int_{x^{2}-1}^{x^{2}+1} -x \, dy \, dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }f(x,y)=-x,
\text{limites internos (variável }y\text{): }y=x^{2}-1\text{ até }y=x^{2}+1,áé
\text{limites externos (variável }x\text{): }x=0\text{ até }x=2.áé
A pergunta explícita é: qual é o valor numérico dessa integral dupla?

Passo 2

Vamos integrar por etapas: primeiro em y (integral interna) e depois em x (integral externa). Lembrete útil: se uma expressão é constante em relação à variável de integração, então
\int_{a}^{b} c\,dy = c\,(b-a),
onde c não depende de y, a e b são os limites. Aqui, para a integral interna, x é considerado constante porque estamos integrando em y.

Passo 3

Aplicando essa ideia à integral interna, como -x não depende de y, obtemos
\int_{x^{2}-1}^{x^{2}+1} -x \, dy = -x\left[(x^{2}+1)-(x^{2}-1)\right].
Expliquei: multiplico -x pela diferença entre o limite superior e o limite inferior em y.

Passo 4

Calcule a diferença dos limites em y:
(x^{2}+1)-(x^{2}-1)=x^{2}+1-x^{2}+1=2.
Portanto a integral interna vale
-x\cdot 2 = -2x.

Passo 5

Agora a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{2} -2x \, dx.

Passo 6

Usamos a regra de potência para integrais: \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}+C. Assim,
\int -2x\,dx = -2\cdot\frac{x^{2}}{2} = -x^{2}.
Então calculamos o valor definido entre 0 e 2:
\left[-x^{2}\right]_{0}^{2} = -(2)^{2} - \bigl(-(0)^{2}\bigr) = -4 - 0 = -4.

Passo 7

Interpretação rápida para checar o sinal: para 0\le x\le 2 temos x\ge 0, e o integrando original -x é não positivo; a região em y tem comprimento 2 para cada x, então faz sentido que o resultado seja negativo e proporcional à soma de x sobre o intervalo, o que confirma o valor obtido.

Resposta

-4

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