Resolva cada uma das integrais a seguir.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral dupla iterada
Informações dadas:
A pergunta explícita é: qual é o valor numérico dessa integral dupla?
Passo 2
Vamos integrar por etapas: primeiro em
(integral interna) e depois em
(integral externa). Lembrete útil: se uma expressão é constante em relação à variável de integração, então
onde
não depende de
,
e
são os limites. Aqui, para a integral interna,
é considerado constante porque estamos integrando em
.
Passo 3
Aplicando essa ideia à integral interna, como
não depende de
, obtemos
Expliquei: multiplico
pela diferença entre o limite superior e o limite inferior em
.
Passo 4
Calcule a diferença dos limites em
:
Portanto a integral interna vale
Passo 5
Agora a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 6
Usamos a regra de potência para integrais:
. Assim,
Então calculamos o valor definido entre
e
:
Passo 7
Interpretação rápida para checar o sinal: para
temos
, e o integrando original
é não positivo; a região em
tem comprimento
para cada
, então faz sentido que o resultado seja negativo e proporcional à soma de
sobre o intervalo, o que confirma o valor obtido.