Calcule h^prime(x), onde:
h(x)=x^sen 3 x

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função h(x)=x^sin(3x). Isso envolve uma potência em que tanto a base quanto o expoente dependem de x, então vamos usar diferenciação logarítmica.

Passo 2

Começamos tomando o logaritmo natural de h(x):
ln h(x)=lnl(x^sin(3x)r)=sin(3x)cdotln x

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, temos
ddxl(ln h(x)r)=h'(x)h(x)
No lado direito, aplicamos a regra do produto em sin(3x)cdotln x. Calculemos a derivada de sin(3x)ln x: se u=sin(3x) e v=ln x, então
u'=3cos(3x), v'=1x,
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ddxl(sin(3x)ln xr)=u'v+uv'=3cos(3x),ln x+sin(3x)cdot1x

Passo 4

Igualando as derivadas, temos
h'(x)h(x)=3ln xcos(3x)+sin(3x)x
Multiplicando por h(x) para isolar h'(x):
h'(x)=h(x)l(3ln xcos(3x)+sin(3x)xr)

Passo 5

Por fim, voltamos com h(x)=x^sin(3x) para obter a forma final da derivada:
h'(x)=x^sin(3x)l(3ln xcos(3x)+sin(3x)xr)

Resposta

h'(x)=x^sin(3x)l(3ln xcos(3x)+sin(3x)xr)

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