Calcule, se houver, os pontos de inflexão das seguintes funções:
f_{2}(x)=\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede: "Calcule, se houver, os pontos de inflexão da função f_{2}(x)=\operatorname{sen}(x)".
Informações dadas e que vamos usar: a função é f(x)=\sin(x) (usei o símbolo matemático \sin para o seno). A função está definida para todo x\in\mathbb{R}. Nosso objetivo é encontrar todos os pontos x onde ocorre inflexão — isto é, pontos do gráfico onde a concavidade muda.

Passo 2

Definição e teste que usaremos (explicação didática curta e prática):
  • Uma função tem concavidade “para cima” em um intervalo quando a sua segunda derivada é positiva ali; isto é, se f''(x)>0 então o gráfico está “côncavo para cima” (parece uma tigela).
  • Uma função tem concavidade “para baixo” quando f''(x)<0.
  • Um ponto x_0 é ponto de inflexão se a concavidade muda ao atravessarmos x_0. Um teste prático: se f'' existe num entorno de x_0, então um sinal necessário (e geralmente suficiente) para inflexão é que f''(x_0)=0 e f'' muda de sinal em x_0.
    Vou aplicar esse critério: calcular f''(x), achar onde é zero e verificar a troca de sinal.

Passo 3

Calcular as derivadas (lembrando a regra básica: \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x) e \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)):
f(x)=\sin(x)
f'(x)=\cos(x)
f''(x)=-\sin(x)
Expliquei cada passo: primeiro derivada do seno é cosseno; derivando de novo, cosseno vira menos seno.

Passo 4

Resolver f''(x)=0. Temos
-\sin(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin(x)=0.
Os zeros do seno são os múltiplos inteiros de \pi, isto é,
x = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Isso nos dá candidatos a pontos de inflexão: todos x=k\pi.

Passo 5

Verificar a mudança de concavidade em cada candidato. Como f''(x)=-\sin(x), basta ver o sinal de \sin(x) à esquerda e à direita de x=k\pi.
  • Sabemos que \sin(x) é positivo em intervalos (2m\pi,(2m+1)\pi) e negativo em ((2m+1)\pi,(2m+2)\pi) para todo m\in\mathbb{Z}.
  • Portanto -\sin(x) é negativo quando \sin(x)>0 e positivo quando \sin(x)<0. Assim, ao passar por x=k\pi o sinal de -\sin(x) troca (porque \sin(x) muda de sinal atravessando zero).
    Outra maneira de ver (mais técnica): \cos(k\pi)=(-1)^k\neq 0, ou seja, a raiz de \sin em x=k\pi é simples, então \sin muda de sinal em cada zero — isso garante a troca de sinal de f''.
    Logo, em cada x=k\pi ocorre mudança de concavidade, portanto é ponto de inflexão.

Passo 6

Encontrar as coordenadas dos pontos de inflexão no plano: o valor da função em x=k\pi é
f(k\pi)=\sin(k\pi)=0.
Portanto os pontos do gráfico são os pares (k\pi,0) para todo k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\{(k\pi,0)\mid k\in\mathbb{Z}\}

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