Calcule, se houver, os pontos de inflexão das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: "Calcule, se houver, os pontos de inflexão da função
".
Informações dadas e que vamos usar: a função é (usei o símbolo matemático
para o seno). A função está definida para todo
. Nosso objetivo é encontrar todos os pontos
onde ocorre inflexão — isto é, pontos do gráfico onde a concavidade muda.
Informações dadas e que vamos usar: a função é
Passo 2
Definição e teste que usaremos (explicação didática curta e prática):
- Uma função tem concavidade “para cima” em um intervalo quando a sua segunda derivada é positiva ali; isto é, se
então o gráfico está “côncavo para cima” (parece uma tigela). - Uma função tem concavidade “para baixo” quando
. - Um ponto
é ponto de inflexão se a concavidade muda ao atravessarmos . Um teste prático: se existe num entorno de , então um sinal necessário (e geralmente suficiente) para inflexão é que e muda de sinal em .
Vou aplicar esse critério: calcular, achar onde é zero e verificar a troca de sinal.
Passo 3
Calcular as derivadas (lembrando a regra básica:
e
):
Expliquei cada passo: primeiro derivada do seno é cosseno; derivando de novo, cosseno vira menos seno.
Passo 4
Resolver
. Temos
Os zeros do seno são os múltiplos inteiros de
, isto é,
Isso nos dá candidatos a pontos de inflexão: todos
.
Passo 5
Verificar a mudança de concavidade em cada candidato. Como
, basta ver o sinal de
à esquerda e à direita de
.
- Sabemos que
é positivo em intervalos e negativo em para todo . - Portanto
é negativo quando e positivo quando . Assim, ao passar por o sinal de troca (porque muda de sinal atravessando zero).
Outra maneira de ver (mais técnica):, ou seja, a raiz de em é simples, então muda de sinal em cada zero — isso garante a troca de sinal de .
Logo, em cadaocorre mudança de concavidade, portanto é ponto de inflexão.
Passo 6
Encontrar as coordenadas dos pontos de inflexão no plano: o valor da função em
é
Portanto os pontos do gráfico são os pares
para todo
.