Calcule os valores extremos das funções abaixo no intervalo indicado:
f_{3}(x)=x e^{-x}, em [-5,5]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores extremos (máximo e mínimo) da função f_{3}(x)=x e^{-x} no intervalo [-5,5].\n
Informações dadas:
f_{3}(x)=x e^{-x},\qquad \text{domínio considerado }[-5,5].í
Perguntas que vamos responder: qual é o(s) ponto(s) de máximo e mínimo no intervalo e quais são os respectivos valores da função nesses pontos.

Passo 2

Estratégia (sem fazer contas ainda): para achar extremos num intervalo fechado, eu preciso:
  1. Encontrar os pontos críticos no interior do intervalo, isto é, os pontos onde a derivada é zero ou não existe.
  2. Avaliar a função nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo (aqui x=-5 e x=5).
  3. Comparar os valores para decidir qual é o máximo e qual é o mínimo.\n
    Agora vamos calcular a derivada de forma bem explicada.

Passo 3

Cálculo da derivada passo a passo (regra do produto):
A função é produto de duas funções: u(x)=x e v(x)=e^{-x}.
  • Derivada de u(x)=x é u'(x)=1.
  • Derivada de v(x)=e^{-x}: lembrando que a derivada de e^{g(x)} é g'(x)e^{g(x)}. Aqui g(x)=-x e g'(x)=-1. Então
v'(x)=(-1)e^{-x}=-e^{-x}.
Pela regra do produto (uv)'=u'v+uv', temos
f_{3}'(x)=1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}-x e^{-x}.
Fatorando e^{-x},
f_{3}'(x)=e^{-x}(1-x).

Passo 4

Encontrar pontos críticos:
Para resolver f_{3}'(x)=0 fazemos
e^{-x}(1-x)=0.
Sabemos que e^{-x}>0 para todo x (a exponencial nunca é zero), então a única possibilidade é
1-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
A derivada existe para todo x, logo não há outros pontos críticos. Verificamos que x=1 pertence ao intervalo [-5,5], então é um candidato a extremo.

Passo 5

Determinar se x=1 é máximo ou mínimo (duas maneiras — farei a análise de sinal da derivada e confirmo com a segunda derivada):
Análise de sinal de f_{3}'(x)=e^{-x}(1-x):
  • Para x<1, temos 1-x>0 e e^{-x}>0 portanto f_{3}'(x)>0 (função crescente).
  • Para x>1, temos 1-x<0 e e^{-x}>0 portanto f_{3}'(x)<0 (função decrescente).
    Como a função cresce antes de x=1 e decresce depois, x=1 é um ponto de máximo local — e, por essa monoticidade no intervalo, é máximo global em [-5,5].
Confirmação pela segunda derivada (opcional, mas didático):
Derivando f_{3}'(x)=e^{-x}(1-x) novamente (outra vez regra do produto):
f_{3}''(x) = \frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)\cdot(1-x) + e^{-x}\cdot\frac{d}{dx}(1-x).
Substituindo derivadas:
f_{3}''(x) = (-e^{-x})(1-x) + e^{-x}(-1) = -e^{-x}\big((1-x)+1\big) = -e^{-x}(2-x).
Em x=1:
f_{3}''(1) = -e^{-1}(2-1) = -e^{-1}<0,
portanto a segunda derivada negativa confirma que x=1 é ponto de máximo local (e global no intervalo).

Passo 6

Avaliar a função nos candidatos: ponto crítico e extremos do intervalo.
Calculemos os valores exatos:
f_{3}(1)=1\cdot e^{-1}=e^{-1}.
f_{3}(-5)=(-5)\cdot e^{-(-5)} = -5 e^{5}.
f_{3}(5)=5\cdot e^{-5}.
Agora comparar os valores:
  • f_{3}(-5)=-5 e^{5} é um número negativo muito grande em módulo (pois e^{5} é grande), então é bem menor que os outros dois.
  • f_{3}(1)=e^{-1} e f_{3}(5)=5e^{-5} são positivos. Como a função decresce para x>1, temos f_{3}(1)>f_{3}(5).
    Portanto, entre os três valores o maior é f_{3}(1)=e^{-1} e o menor é f_{3}(-5)=-5 e^{5}.
Para dar uma noção numérica (apenas para intuir a diferença):
e^{-1}\approx 0,367879\quad,\quad 5e^{-5}\approx 0,033689\quad,\quad -5e^{5}\approx -742{,}065.

Passo 7

Conclusão organizada: o máximo ocorre em x=1 e o mínimo em x=-5. Os valores correspondentes são os calculados acima.

Resposta

Máximo em x=1: f_{3}(1)=e^{-1}.\n
Mínimo em x=-5: f_{3}(-5)=-5 e^{5}.

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