Calcule os valores extremos das funções abaixo no intervalo indicado:
, em
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores extremos (máximo e mínimo) da função
no intervalo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Perguntas que vamos responder: qual é o(s) ponto(s) de máximo e mínimo no intervalo e quais são os respectivos valores da função nesses pontos.
Passo 2
Estratégia (sem fazer contas ainda): para achar extremos num intervalo fechado, eu preciso:
- Encontrar os pontos críticos no interior do intervalo, isto é, os pontos onde a derivada é zero ou não existe.
- Avaliar a função nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo (aqui
e ). - Comparar os valores para decidir qual é o máximo e qual é o mínimo.\n
Agora vamos calcular a derivada de forma bem explicada.
Passo 3
Cálculo da derivada passo a passo (regra do produto):
A função é produto de duas funções: e
.
A função é produto de duas funções:
- Derivada de
é . - Derivada de
: lembrando que a derivada de é . Aqui e . Então
Pela regra do produto
, temos
Fatorando
,
Passo 4
Encontrar pontos críticos:
Para resolver fazemos
Para resolver
Sabemos que
para todo
(a exponencial nunca é zero), então a única possibilidade é
A derivada existe para todo
, logo não há outros pontos críticos. Verificamos que
pertence ao intervalo
, então é um candidato a extremo.
Passo 5
Determinar se
é máximo ou mínimo (duas maneiras — farei a análise de sinal da derivada e confirmo com a segunda derivada):
Análise de sinal de :
Análise de sinal de
- Para
, temos e portanto (função crescente). - Para
, temos e portanto (função decrescente).
Como a função cresce antes dee decresce depois, é um ponto de máximo local — e, por essa monoticidade no intervalo, é máximo global em .
Confirmação pela segunda derivada (opcional, mas didático):
Derivando novamente (outra vez regra do produto):
Derivando
Substituindo derivadas:
Em
:
portanto a segunda derivada negativa confirma que
é ponto de máximo local (e global no intervalo).
Passo 6
Avaliar a função nos candidatos: ponto crítico e extremos do intervalo.
Calculemos os valores exatos:
Agora comparar os valores:
-
é um número negativo muito grande em módulo (pois é grande), então é bem menor que os outros dois. -
e são positivos. Como a função decresce para , temos .
Portanto, entre os três valores o maior ée o menor é .
Para dar uma noção numérica (apenas para intuir a diferença):
Passo 7
Conclusão organizada: o máximo ocorre em
e o mínimo em
. Os valores correspondentes são os calculados acima.
Resposta
Máximo em
:
\n
Mínimo em :
Mínimo em