Calcule, se houver, os pontos de inflexão das seguintes funções:
, onde
Passo 1
O enunciado dá duas definições encadeadas:
é uma primitiva de
e
é uma primitiva de
. Em símbolos:
O que pedem: calcular os pontos de inflexão de
, ou seja, os pontos onde a concavidade muda. Informações relevantes dadas:
- As integrais são indefinidas, então aparecerão constantes de integração (uma para
e outra para ). - A função original dentro da primeira integral é
, um polinômio definido em todo . Portanto o domínio natural é todo .
Passo 2
Calcular
explicitamente. Para integrar
usamos a regra básica
(para
) e
. Assim:
onde
é a constante de integração. Explicando:
e
.
Passo 3
Calcular
. Integramos termo a termo a expressão obtida para
:
Usando
,
e
, obtemos
onde
é a segunda constante de integração.
Passo 4
Para achar pontos de inflexão precisamos da segunda derivada
. Primeiro calculemos as derivadas passo a passo e explique cada regra usada:
- Regra do poder:
. - Derivada de constante é zero.
Derivada primeira:
Observação: esse
coincide com
, como era de esperar (uma primitiva diferenciada dá a função original).
Derivada segunda:
Derivada segunda:
Note que as constantes desaparecem na segunda derivada, então
não depende de
nem de
.
Passo 5
Resolver a equação
para encontrar candidatos a pontos de inflexão:
Agora verificar mudança de sinal (concavidade) em torno desses pontos. Escolhemos pontos de teste:
- Para
(entre e ): → concavidade para baixo. - Para
(maior que ): → concavidade para cima. - Para
(menor que ): → concavidade para cima.
Como o sinal detroca de + para − ou de − para + ao cruzar , ambos são pontos de inflexão (a segunda derivada é contínua porque é um polinômio).
Passo 6
Encontrar as coordenadas completas dos pontos de inflexão, ou seja, calcular
. Substituindo na expressão de
:
Para :
Para
Para
:
Comentário didático: as coordenadas
dos pontos de inflexão dependem das constantes de integração
e
, mas as abscissas
são independentes delas.