Calcule, se houver, os pontos de inflexão das seguintes funções:
f_{4}(x)=\int g(x) d x, onde g(x)=\int\left(x^{2}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado dá duas definições encadeadas: g(x) é uma primitiva de x^{2}-1 e f_{4}(x) é uma primitiva de g(x). Em símbolos:
g(x)=\int (x^{2}-1)\,dx
f_{4}(x)=\int g(x)\,dx
O que pedem: calcular os pontos de inflexão de f_{4}, ou seja, os pontos onde a concavidade muda. Informações relevantes dadas:
  • As integrais são indefinidas, então aparecerão constantes de integração (uma para g e outra para f_{4}).
  • A função original dentro da primeira integral é x^{2}-1, um polinômio definido em todo \mathbb{R}. Portanto o domínio natural é todo \mathbb{R}.

Passo 2

Calcular g(x) explicitamente. Para integrar (x^{2}-1) usamos a regra básica \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1) e \int 1\,dx=x. Assim:
g(x)=\int (x^{2}-1)\,dx=\frac{1}{3}x^{3}-x+C_{1},
onde C_{1} é a constante de integração. Explicando: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3} e \int (-1)\,dx=-x.

Passo 3

Calcular f_{4}(x)=\int g(x)\,dx. Integramos termo a termo a expressão obtida para g(x):
f_{4}(x)=\int\!\left(\frac{1}{3}x^{3}-x+C_{1}\right)dx.
Usando \int x^{3}dx=\dfrac{x^{4}}{4}, \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2} e \int C_{1}\,dx=C_{1}x, obtemos
f_{4}(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é a segunda constante de integração.

Passo 4

Para achar pontos de inflexão precisamos da segunda derivada f_{4}''(x). Primeiro calculemos as derivadas passo a passo e explique cada regra usada:
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Derivada de constante é zero.
    Derivada primeira:
f_{4}'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+C_{1}x+C_{2}\right) =\frac{1}{12}\cdot 4x^{3}-\frac{1}{2}\cdot 2x+C_{1} =\frac{1}{3}x^{3}-x+C_{1}.
Observação: esse f_{4}'(x) coincide com g(x), como era de esperar (uma primitiva diferenciada dá a função original).
Derivada segunda:
f_{4}''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}x^{3}-x+C_{1}\right) =\frac{1}{3}\cdot 3x^{2}-1 =x^{2}-1.
Note que as constantes desaparecem na segunda derivada, então f_{4}'' não depende de C_{1} nem de C_{2}.

Passo 5

Resolver a equação f_{4}''(x)=0 para encontrar candidatos a pontos de inflexão:
x^{2}-1=0 \implies x^{2}=1 \implies x=\pm 1.
Agora verificar mudança de sinal (concavidade) em torno desses pontos. Escolhemos pontos de teste:
  • Para x=0 (entre -1 e 1): f_{4}''(0)=0^{2}-1=-1<0 → concavidade para baixo.
  • Para x=2 (maior que 1): f_{4}''(2)=4-1=3>0 → concavidade para cima.
  • Para x=-2 (menor que -1): f_{4}''(-2)=4-1=3>0 → concavidade para cima.
    Como o sinal de f_{4}'' troca de + para − ou de − para + ao cruzar x=\pm 1, ambos são pontos de inflexão (a segunda derivada é contínua porque é um polinômio).

Passo 6

Encontrar as coordenadas completas dos pontos de inflexão, ou seja, calcular f_{4}(\pm 1). Substituindo na expressão de f_{4}:
Para x=1:
f_{4}(1)=\frac{1}{12}\cdot 1^{4}-\frac{1}{2}\cdot 1^{2}+C_{1}\cdot 1+C_{2} =\frac{1}{12}-\frac{1}{2}+C_{1}+C_{2} =C_{1}+C_{2}-\frac{5}{12}.
Para x=-1:
f_{4}(-1)=\frac{1}{12}\cdot (-1)^{4}-\frac{1}{2}\cdot (-1)^{2}+C_{1}(-1)+C_{2} =\frac{1}{12}-\frac{1}{2}-C_{1}+C_{2} =C_{2}-C_{1}-\frac{5}{12}.
Comentário didático: as coordenadas y dos pontos de inflexão dependem das constantes de integração C_{1} e C_{2}, mas as abscissas x=\pm 1 são independentes delas.

Resposta

(1,\;C_{1}+C_{2}-\tfrac{5}{12})
(-1,\;C_{2}-C_{1}-\tfrac{5}{12})

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