Calcule, se houver, os pontos de inflexão das seguintes funções:
f_{1}(x)=x^{4}-6 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f_{1}(x)=x^{4}-6 x^{2} e pede para calcular, se houver, os pontos de inflexão dessa função. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f_{1}(x)=x^{4}-6 x^{2}.
  • Precisamos encontrar os pontos de inflexão (ou seja, os pontos no gráfico onde a concavidade muda).
  • Não há outras restrições ou figuras fornecidas.

Passo 2

Vou explicar o que é ponto de inflexão de um jeito bem prático. Um ponto de inflexão é um ponto da curva onde a concavidade muda de côncava para convexa ou vice‑versa. Uma condição necessária (mas não suficiente) para um ponto de inflexão é que a segunda derivada seja zero ou não esteja definida nesse ponto. Em símbolos:
\text{candidato a inflexão: }x \text{ tal que } f''(x)=0 \text{ ou } f''(x)\text{ não existe.}ãã
Depois de achar os candidatos, precisamos verificar que a concavidade realmente muda (ou seja, que f''(x) muda de sinal ao atravessar o ponto).

Passo 3

Primeiro passo prático: calcular a primeira derivada f'(x). Vou usar a regra do poder (power rule): se g(x)=x^{n}, então g'(x)=n x^{n-1}. Aplicando termo a termo a um polinômio:
  • Derivada de x^{4} é 4x^{3}.
  • Derivada de -6x^{2} é -6\cdot 2 x^{1} = -12x.
    Portanto,
f'(x)=4x^{3}-12x.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada f''(x), que é a derivada de f'(x). Novamente usamos a regra do poder termo a termo:
  • Derivada de 4x^{3} é 4\cdot 3 x^{2} = 12x^{2}.
  • Derivada de -12x é -12.
    Logo
f''(x)=12x^{2}-12.

Passo 5

Encontrar os candidatos a ponto de inflexão resolvendo f''(x)=0:
12x^{2}-12=0.
Dividindo por 12 (que é diferente de zero):
x^{2}-1=0.
Isso implica
x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Esses são os candidatos. Observação: f''(x) é um polinômio, portanto está definida para todo x; não há pontos onde f'' seja indefinida.

Passo 6

Agora precisamos verificar se em x=\pm 1 ocorre mudança de sinal em f''(x), para confirmar que são pontos de inflexão. Vamos analisar o sinal de f''(x)=12(x^{2}-1). Como o fator 12 é positivo, o sinal depende de x^{2}-1.
  • Se |x|>1 então x^{2}-1>0 e f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Se |x|<1 então x^{2}-1<0 e f''(x)<0 (concavidade para baixo).

Passo 7

Testando intervalos para ser bem concreto:
  • Para x=0 (está em -1<x<1): f''(0)=12(0^{2}-1)=12(-1)=-12<0. Então entre -1 e 1 a concavidade é para baixo.
  • Para x=2 (está em x>1): f''(2)=12(4-1)=12\cdot 3=36>0. Então à direita de 1 a concavidade é para cima.
  • Para x=-2 (está em x<-1): f''(-2)=12(4-1)=36>0. Então à esquerda de -1 a concavidade é para cima.
Portanto:
  • Ao passar por x=-1 a concavidade muda de cima (antes de -1) para baixo (entre -1 e 1).
  • Ao passar por x=1 a concavidade muda de baixo (entre -1 e 1) para cima (depois de 1).
Assim, em ambos x=-1 e x=1 há mudança de sinal em f'', confirmando que são pontos de inflexão.

Passo 8

Calcular as ordenadas dos pontos de inflexão para obter os pontos no plano. Avaliamos f_{1} em x=\pm 1:
f_{1}(1)=1^{4}-6\cdot 1^{2}=1-6=-5,
f_{1}(-1)=(-1)^{4}-6\cdot(-1)^{2}=1-6=-5.
Portanto as coordenadas são (-1,-5) e (1,-5).

Resposta

(-1,-5)
(1,-5)

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