Calcule, se houver, os pontos de inflexão das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular, se houver, os pontos de inflexão dessa função. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - Precisamos encontrar os pontos de inflexão (ou seja, os pontos no gráfico onde a concavidade muda).
- Não há outras restrições ou figuras fornecidas.
Passo 2
Vou explicar o que é ponto de inflexão de um jeito bem prático. Um ponto de inflexão é um ponto da curva onde a concavidade muda de côncava para convexa ou vice‑versa. Uma condição necessária (mas não suficiente) para um ponto de inflexão é que a segunda derivada seja zero ou não esteja definida nesse ponto. Em símbolos:
Depois de achar os candidatos, precisamos verificar que a concavidade realmente muda (ou seja, que
muda de sinal ao atravessar o ponto).
Passo 3
Primeiro passo prático: calcular a primeira derivada
. Vou usar a regra do poder (power rule): se
, então
. Aplicando termo a termo a um polinômio:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto,
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada
, que é a derivada de
. Novamente usamos a regra do poder termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Passo 5
Encontrar os candidatos a ponto de inflexão resolvendo
:
Dividindo por
(que é diferente de zero):
Isso implica
Esses são os candidatos. Observação:
é um polinômio, portanto está definida para todo
; não há pontos onde
seja indefinida.
Passo 6
Agora precisamos verificar se em
ocorre mudança de sinal em
, para confirmar que são pontos de inflexão. Vamos analisar o sinal de
. Como o fator
é positivo, o sinal depende de
.
- Se
então e (concavidade para cima). - Se
então e (concavidade para baixo).
Passo 7
Testando intervalos para ser bem concreto:
- Para
(está em ): . Então entre e a concavidade é para baixo. - Para
(está em ): . Então à direita de a concavidade é para cima. - Para
(está em ): . Então à esquerda de a concavidade é para cima.
Portanto:
- Ao passar por
a concavidade muda de cima (antes de ) para baixo (entre e ). - Ao passar por
a concavidade muda de baixo (entre e ) para cima (depois de ).
Assim, em ambos
e
há mudança de sinal em
, confirmando que são pontos de inflexão.
Passo 8
Calcular as ordenadas dos pontos de inflexão para obter os pontos no plano. Avaliamos
em
:
Portanto as coordenadas são
e
.