Calcule a integral.
\int_{0}^{1}\left(1-8 v^{3}+16 v^{3}\right) d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\bigl(1 - 8v^{3} + 16v^{3}\bigr)\,dv.
O conteúdo aqui é integração de polinômios, e vamos usar a linearidade da integral e a regra de potência.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando:
1 - 8v^{3} + 16v^{3} = 1 + 8v^{3}.
Logo,
\int_{0}^{1}\bigl(1 - 8v^{3} + 16v^{3}\bigr)\,dv = \int_{0}^{1}\bigl(1 + 8v^{3}\bigr)\,dv = \int_{0}^{1}1\,dv \;+\; 8\int_{0}^{1}v^{3}\,dv.

Passo 3

Calculamos cada parte:
\int_{0}^{1}1\,dv = \bigl[v\bigr]_{0}^{1} = 1,
\int_{0}^{1}v^{3}\,dv = \left[\frac{v^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Portanto,
\int_{0}^{1}\bigl(1 + 8v^{3}\bigr)\,dv = 1 + 8\cdot\frac{1}{4} = 1 + 2 = 3.

Resposta

3

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