Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeiro ou falsa. Justifique sua resposta.
Se A e B são matrizes simétricas, então A \cdot B=B \cdot A.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a veracidade da afirmação: “Se A e B são matrizes simétricas, então A\cdot B = B\cdot A”. Vamos resumir o que precisamos:
  • Definir matriz simétrica.
  • Verificar se a propriedade de simetria impõe comutação em geral.
  • Caso não, dar um contraexemplo para mostrar que a afirmação é falsa.

Passo 2

Uma matriz M é dita simétrica quando
M = M^T.
Duas matrizes A e B comutam se e somente se
A\,B = B\,A.
Embora matrizes simétricas sejam diagonalizáveis em base ortonormal, nada garante que duas matrizes simétricas quaisquer compartilhem a mesma base de autovetores. Assim, em geral elas não precisam comutar.

Passo 3

Para demonstrar que a afirmação é falsa, basta fornecer um contraexemplo com duas matrizes simétricas que não comutam. Considere, por exemplo,
A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Ambas são simétricas, pois A^T = A e B^T = B.]

Passo 4

Calculemos o produto A\,B:
A\,B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot1 + 1\cdot0 & 0\cdot0 + 1\cdot0 \\[4pt] 1\cdot1 + 0\cdot0 & 1\cdot0 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
E agora B\,A:
B\,A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot0 + 0\cdot1 & 1\cdot1 + 0\cdot0 \\[4pt] 0\cdot0 + 0\cdot1 & 0\cdot1 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como
A\,B = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B\,A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
temos A\,B \neq B\,A. Portanto, nem sempre duas matrizes simétricas comutam.]

Resposta

Falsa.

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