Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeiro ou falsa. Justifique sua resposta.
Se A e B são matrizes simétricas, então A \cdot B=B \cdot A.
Se A e B são matrizes simétricas, então A \cdot B=B \cdot A.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a veracidade da afirmação: “Se
e
são matrizes simétricas, então
”. Vamos resumir o que precisamos:
- Definir matriz simétrica.
- Verificar se a propriedade de simetria impõe comutação em geral.
- Caso não, dar um contraexemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
Passo 2
Uma matriz
é dita simétrica quando
Duas matrizes
e
comutam se e somente se
Embora matrizes simétricas sejam diagonalizáveis em base ortonormal, nada garante que duas matrizes simétricas quaisquer compartilhem a mesma base de autovetores. Assim, em geral elas não precisam comutar.
Passo 3
Para demonstrar que a afirmação é falsa, basta fornecer um contraexemplo com duas matrizes simétricas que não comutam. Considere, por exemplo,
Ambas são simétricas, pois
e
.]
Passo 4
Calculemos o produto
:
E agora
:
Passo 5
Como
temos
. Portanto, nem sempre duas matrizes simétricas comutam.]
Resposta
Falsa.