Prove que:
Im(z)=(z-barz)2 i

Passo 1

Nesse exercício a gente vai provar a fórmula que dá a parte imaginária de um número complexo em termos do próprio número e do seu conjugado. O conteúdo é de números complexos: vamos precisar usar a forma algébrica de um número complexo e a definição de conjugado.

Passo 2

Seja um número complexo genérico $z$ escrito na forma $z = x + i y$, onde $x = \Re(z)$ e $y = \Im(z)$. Por definição, o conjugado de $z$ é $\bar{z} = x - i y$.

Passo 3

Agora calculemos a diferença entre $z$ e seu conjugado $\bar{z}$:
z

Passo 4

Para isolar $y$, que é exatamente $\Im(z)$, dividimos ambos os lados por $2i$:
y

Passo 5

Como $y = \Im(z)$, concluímos que a identidade desejada é verdadeira.

Resposta

$\Im(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}$

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