Calcule (2-2 i)^{-4} e expresse o resultado na forma retangular. Explique como a fórmula de De Moivre se aplica a expoentes negativos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular (2-2i)^{-4} em forma retangular e explicar como a fórmula de De Moivre se estende a expoentes negativos. O conteúdo aqui é a representação polar de um número complexo e a aplicação de
z^{n}=r^{n}\cis(n\theta)
para inteiro n, inclusive n<0.

Passo 2

Determine o módulo r e o argumento \theta de
z = 2-2i.
Temos
r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}, \quad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{-2}{2}\bigr) = -\tfrac{\pi}{4}.
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z = 2\sqrt{2}\,\cis\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 3

A fórmula de De Moivre afirma que, para todo inteiro n,
z^{n} = r^{n}\cis(n\theta).
Quando n é negativo, escrevemos r^{n}=1/r^{|n|} e mantemos n\theta negativo, mas a mesma fórmula vale sem alterações.

Passo 4

Aplique n=-4:
(2-2i)^{-4} = \bigl(r\,\cis\theta\bigr)^{-4} = r^{-4}\,\cis(-4\theta).
Substituindo r=2\sqrt{2} e \theta=-\tfrac{\pi}{4}, vem
(2-2i)^{-4} = (2\sqrt{2})^{-4}\;\cis\!\bigl(-4 \cdot(-\tfrac{\pi}{4})\bigr).

Passo 5

Calcule separadamente a magnitude e o argumento:
(2\sqrt{2})^{-4} = \frac{1}{(2\sqrt{2})^4} = \frac{1}{64}, \quad -4\cdot\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \pi.
Portanto
(2-2i)^{-4} = \frac{1}{64}\,\cis(\pi) = \frac{1}{64}\bigl(\cos\pi + i\sin\pi\bigr) = -\frac{1}{64}.

Resposta

-\frac{1}{64}.

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