Encontre as três raízes cúbicas de z=-27. Apresente as raízes nas formas polar e retangular.

Passo 1

O enunciado pede as três raízes cúbicas de z=-27. O conteúdo envolvido é o de números complexos em forma polar e a fórmula para as n-ésimas raízes de um complexo. Vamos precisar:
  1. escrever z em forma polar;
  2. usar a fórmula das raízes n-ésimas;
  3. converter o resultado para a forma retangular.

Passo 2

Escrevendo z=-27 em forma polar, temos o módulo
r = |z| = 27
e o argumento principal
\theta = \arg(z) = \pi
portanto
z = 27\,e^{i\pi}.

Passo 3

Para achar as raízes cúbicas usamos a fórmula
w_k = r^{1/3}\,e^{i(\theta + 2\pi k)/3},\quad k=0,1,2.
Aqui r^{1/3} = 27^{1/3} = 3.

Passo 4

Calculando para cada k:
  • k=0: \displaystyle w_0 = 3\,e^{i(\pi/3)}.
  • k=1: \displaystyle w_1 = 3\,e^{i(\pi+2\pi)/3} = 3\,e^{i\pi}.
  • k=2: \displaystyle w_2 = 3\,e^{i(\pi+4\pi)/3} = 3\,e^{i(5\pi/3)}.

Passo 5

Convertendo cada raiz para a forma retangular x+iy, usando \cos e \sin:
  • w_0 = 3\bigl(\cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3)\bigr) = 3\bigl(\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) = \tfrac32 + i\,\tfrac{3\sqrt3}{2}.
  • w_1 = 3\bigl(\cos\pi + i\sin\pi\bigr) = 3(-1 + i\cdot0) = -3.
  • w_2 = 3\bigl(\cos(5\pi/3) + i\sin(5\pi/3)\bigr) = 3\bigl(\tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) = \tfrac32 - i\,\tfrac{3\sqrt3}{2}.

Resposta

As três raízes de z=-27 são: w_0 = 3e^{i\pi/3} = \tfrac32 + i\,\tfrac{3\sqrt3}{2}, w_1 = 3e^{i\pi} = -3, w_2 = 3e^{i5\pi/3} = \tfrac32 - i\,\tfrac{3\sqrt3}{2}.

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