Calcule o valor de \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)^{20}. Apresente o resultado final na forma x+i y.

Passo 1

No enunciado o objetivo é calcular \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)^{20}. O conteúdo é conversão para forma polar e aplicação do Teorema de De Moivre.

Passo 2

Escrevemos z=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i. Calculamos o módulo:
\lvert z\rvert=\sqrt{\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)^{2}}=1
Para o argumento, como \cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2} e \sin\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}, temos \theta=-\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre:
z^{20}=\cos(20\theta)+i\sin(20\theta) =\cos\Bigl(20\cdot\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr) +i\sin\Bigl(20\cdot\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr) =\cos(-5\pi)+i\sin(-5\pi).

Passo 4

Como \cos(-5\pi)=\cos(5\pi)=(-1)^5=-1 e \sin(-5\pi)=0, segue que
z^{20}=-1+0\,i.

Resposta

-1+0\,i

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