Determine o menor inteiro positivo
para o qual
é um número imaginário puro. Justifique sua resposta analisando o argumento do número na forma polar.
Passo 1
O enunciado pede o menor inteiro positivo
tal que
é um número imaginário puro.
Conteúdo: números complexos em forma polar e uso da fórmula de De Moivre.
Conteúdo: números complexos em forma polar e uso da fórmula de De Moivre.
Passo 2
Escrevemos
em forma polar, encontrando módulo e argumento.
O módulo é
O módulo é
O argumento é
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Passo 3
Pela fórmula de De Moivre,
Passo 4
Para que
seja imaginário puro, sua parte real deve ser zero, ou seja
Sabemos que
quando
, com
.
Portanto
Portanto
Passo 5
O menor inteiro positivo ocorre para
, isto é