Determine o menor inteiro positivo n para o qual (\sqrt{3}+i)^{n} é um número imaginário puro. Justifique sua resposta analisando o argumento do número na forma polar.

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro positivo n tal que
(\sqrt{3}+i)^{n}
é um número imaginário puro.
Conteúdo: números complexos em forma polar e uso da fórmula de De Moivre.

Passo 2

Escrevemos z=\sqrt{3}+i em forma polar, encontrando módulo e argumento.
O módulo é
|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2.
O argumento é
\arg(z)=\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)=\tfrac{\pi}{6}.
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z=2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{6}+i\sin\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 3

Pela fórmula de De Moivre,
z^{n}=\bigl(2e^{i\pi/6}\bigr)^{n} =2^{n}\bigl(\cos\tfrac{n\pi}{6}+i\sin\tfrac{n\pi}{6}\bigr).

Passo 4

Para que z^{n} seja imaginário puro, sua parte real deve ser zero, ou seja
\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{6}\bigr)=0.
Sabemos que \cos\theta=0 quando \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, com k\in\mathbb{Z}.
Portanto
\tfrac{n\pi}{6}=\tfrac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad n=3+6k.

Passo 5

O menor inteiro positivo ocorre para k=0, isto é n=3.

Resposta

3

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