Para cada x em [1,2], y varia entre -\tfrac{x}{2} e \tfrac{x}{2}.
A função integranda é \dfrac{1}{(4x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Passo 2
Motivação do próximo passo (sem resolver ainda): a expressão 4x^{2}+y^{2} sugere que uma mudança de variáveis que “escale” x para igualar o coeficiente 4 pode simplificar a integral. Vamos fazer a substituição linear
u=2x,\qquad v=y.
Explicando devagar como inverter e achar o Jacobiano: a inversa é
x=\frac{u}{2},\qquad y=v.
O Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é a determinante da matriz das derivadas parciais de (x,y) em relação a (u,v):
Explicando as potências: (u^{2}+v^{2})^{3/2}=(r^{2})^{3/2}=r^{3}. Assim o integrando é \tfrac{1}{2}\cdot \dfrac{r}{r^{3}}=\tfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{r^{2}}.
Falta avaliar \sin\alpha onde \alpha=\arctan\!\left(\tfrac{1}{4}\right). Use um triângulo retângulo com cateto oposto 1 e adjacente 4; a hipotenusa é \sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}. Assim
\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{17}}.
Substituindo em I=\dfrac{1}{4}\sin\alpha chegamos a