Seja
a região delimitada pela curva plana parametrizada por
Determine a área de
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede a área da região planar
delimitada por essa curva.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva está escrita na forma polar (raio dependente de
): . - O parâmetro
varia de a , ou seja a curva fecha-se após . - A pergunta é: qual é a área de
?
Passo 2
Regra que vou usar (explicação didática): existe uma fórmula clássica para a área de uma região plana delimitada por uma curva parametrizada
,
:
Essa fórmula vem do Teorema de Green aplicada para calcular área como
. Vou aplicá-la com
e
.
Passo 3
Reescrevendo a parametrização em notação polar para facilitar: defina
Vou calcular
e
. Usando regra do produto e derivada de
,
:
Passo 4
Agora calcule o integrando
e simplifique passo a passo:
Observação didática: os termos com
se cancelam porque aparecem com sinais opostos; sobra apenas
. Assim a expressão para a área fica simples em coordenadas polares (com
).]
Passo 5
Substituindo no integral da área:
Agora expanda
com
:
Use a identidade trigonométrica
com
, para escrever
Portanto
Passo 6
Integre termo a termo no intervalo
:
Cálculos das integrais trigonométricas:
porque são senos e cossenos com períodos que dividem
. Assim sobra apenas a parte constante:
Passo 7
Com isso, pela fórmula da área,