Seja \Omega \subseteq R^{2} a região delimitada pela curva plana parametrizada por
\sigma(t)=((2+\sin (4 t)) \cos t,(2+\sin (4 t)) \sin t), \quad t \in[0,2 \pi]
Determine a área de \Omega.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\sigma(t)=\bigl((2+\sin(4t))\cos t,\,(2+\sin(4t))\sin t\bigr),\qquad t\in[0,2\pi],
e pede a área da região planar \Omega delimitada por essa curva.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva está escrita na forma polar (raio dependente de t): r(t)=2+\sin(4t).
  • O parâmetro t varia de 0 a 2\pi, ou seja a curva fecha-se após t=2\pi.
  • A pergunta é: qual é a área de \Omega?

Passo 2

Regra que vou usar (explicação didática): existe uma fórmula clássica para a área de uma região plana delimitada por uma curva parametrizada (x(t),y(t)), t\in[a,b]:
\text{Área}(\Omega)=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\bigl(x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)\bigr)\,dt.Á
Essa fórmula vem do Teorema de Green aplicada para calcular área como \tfrac12\oint x\,dy-y\,dx. Vou aplicá-la com a=0 e b=2\pi.

Passo 3

Reescrevendo a parametrização em notação polar para facilitar: defina
r(t)=2+\sin(4t),\qquad x(t)=r(t)\cos t,\qquad y(t)=r(t)\sin t.
Vou calcular x'(t) e y'(t). Usando regra do produto e derivada de \cos t, \sin t:
x'(t)=r'(t)\cos t - r(t)\sin t, \qquad y'(t)=r'(t)\sin t + r(t)\cos t.

Passo 4

Agora calcule o integrando x\,y'-y\,x' e simplifique passo a passo:
\begin{aligned} x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t) &= \bigl(r\cos t\bigr)\bigl(r'\sin t + r\cos t\bigr) -\bigl(r\sin t\bigr)\bigl(r'\cos t - r\sin t\bigr)\\[4pt] &= r r'\cos t\sin t + r^{2}\cos^{2}t - r r'\sin t\cos t + r^{2}\sin^{2}t\\[4pt] &= r^{2}\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr)\\[4pt] &= r^{2}(t). \end{aligned}
Observação didática: os termos com r'(t) se cancelam porque aparecem com sinais opostos; sobra apenas r^2. Assim a expressão para a área fica simples em coordenadas polares (com \theta=t).]

Passo 5

Substituindo no integral da área:
\text{Área}(\Omega)=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} r^{2}(t)\,dt.Á
Agora expanda r^{2}(t) com r(t)=2+\sin(4t):
\begin{aligned} r^{2}(t) &= \bigl(2+\sin(4t)\bigr)^{2} =4 + 4\sin(4t) + \sin^{2}(4t). \end{aligned}
Use a identidade trigonométrica \sin^{2}\varphi = \dfrac{1-\cos(2\varphi)}{2} com \varphi=4t, para escrever
\sin^{2}(4t)=\frac{1-\cos(8t)}{2}.
Portanto
\begin{aligned} r^{2}(t) &=4 + 4\sin(4t) + \frac{1-\cos(8t)}{2}\\[4pt] &=\frac{9}{2} + 4\sin(4t) - \frac{1}{2}\cos(8t). \end{aligned}]

Passo 6

Integre termo a termo no intervalo [0,2\pi]:
\int_{0}^{2\pi} r^{2}(t)\,dt = \int_{0}^{2\pi}\left(\frac{9}{2}\right)dt +4\int_{0}^{2\pi}\sin(4t)\,dt -\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(8t)\,dt.
Cálculos das integrais trigonométricas:
\int_{0}^{2\pi}\sin(4t)\,dt = 0, \qquad \int_{0}^{2\pi}\cos(8t)\,dt = 0,
porque são senos e cossenos com períodos que dividem 2\pi. Assim sobra apenas a parte constante:
\int_{0}^{2\pi} r^{2}(t)\,dt = \frac{9}{2}\cdot(2\pi)=9\pi.

Passo 7

Com isso, pela fórmula da área,
\text{Área}(\Omega)=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} r^{2}(t)\,dt=\frac{1}{2}\cdot 9\pi.Á

Resposta

\dfrac{9\pi}{2}

Exercícios relacionados