Resolva a equação y^{\prime}+\frac{5 x^{2}}{\left(x^{3}-1\right)^{3}} y=0, por dois métodos distintos.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^{\prime}+\frac{5 x^{2}}{\left(x^{3}-1\right)^{3}}\,y=0,
usando dois métodos distintos. Informação dada: é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear homogênea. A tarefa é encontrar a família de soluções gerais y(x). Não há imagens.

Passo 2

Método 1 — Observação básica e separação de variáveis: escrever a equação isolando y^{\prime}. A equação dada é
y' = -\frac{5 x^{2}}{\left(x^{3}-1\right)^{3}}\,y.
Isto mostra que a equação é multiplicativa em y e em função de x; portanto pode-se separar as variáveis y e x. A ideia de separação de variáveis é passar todos os termos que dependem de y para um lado e os que dependem de x para o outro, e integrar ambos os lados.

Passo 3

Aplicando separação: divido por y (assumindo y\neq0 para integrar o log; a solução identicamente zero aparece depois) e multiplico por dx:
\frac{dy}{y} = -\frac{5 x^{2}}{\left(x^{3}-1\right)^{3}}\,dx.
Agora integro ambos os lados (integração indefinida). Do lado esquerdo uso a primitiva de 1/y e do lado direito vou calcular explicitamente a integral.

Passo 4

Calcular a integral do lado direito. Faço a substituição
u = x^{3}-1,\qquad du = 3x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx=\frac{du}{3}.
Substituindo na integral:
\int -\frac{5 x^{2}}{(x^{3}-1)^{3}}\,dx = -5\int \frac{x^{2}\,dx}{u^{3}} = -5\int \frac{1}{u^{3}}\cdot\frac{du}{3} = -\frac{5}{3}\int u^{-3}\,du.
A primitiva de u^{-3} é \dfrac{u^{-2}}{-2}. Assim
-\frac{5}{3}\int u^{-3}\,du = -\frac{5}{3}\cdot\frac{u^{-2}}{-2} = \frac{5}{6}\,u^{-2} + C.
Voltando para x: a integral do lado direito é \dfrac{5}{6}(x^{3}-1)^{-2}+C.

Passo 5

Juntando as integrais (lado esquerdo e direito) obtemos
\int \frac{dy}{y} = \ln|y| = \frac{5}{6}\,(x^{3}-1)^{-2} + C,
onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados (isto transforma o log natural em exponencial) obtemos a solução geral pelo método da separação:
y(x)=C_{1}\exp\!\Big(\tfrac{5}{6}(x^{3}-1)^{-2}\Big),
onde C_{1}=\pm e^{C} é uma constante arbitrária real. Também há a solução trivial y\equiv0 (incluída tomando C_{1}=0).

Passo 6

Método 2 — Método do fator integrante (forma linear): a equação inicial pode ser vista como uma equação linear de primeira ordem na forma padrão
y'+P(x)\,y=0,
com
P(x)=\frac{5x^{2}}{(x^{3}-1)^{3}}.
Para uma equação linear homogênea dessa forma, o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
A propriedade útil é que \dfrac{d}{dx}(\mu y)=\mu y'+\mu P y. Como o lado direito da equação é zero, ao multiplicar por \mu obtemos \dfrac{d}{dx}(\mu y)=0, o que implica \mu y= constante.

Passo 7

Calcular o fator integrante. Já calculamos uma integral muito parecida no Método 1; de fato
\int P(x)\,dx = \int \frac{5x^{2}}{(x^{3}-1)^{3}}\,dx = -\frac{5}{6}(x^{3}-1)^{-2} + C.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\Big(-\tfrac{5}{6}(x^{3}-1)^{-2}\Big).

Passo 8

Multiplicando a equação original por \mu(x) e usando a identidade do fator integrante:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big)=0.
Integro e obtenho \mu(x)\,y(x)=C_{2}, constante. Assim
y(x)=\frac{C_{2}}{\mu(x)}=C_{2}\exp\!\Big(\tfrac{5}{6}(x^{3}-1)^{-2}\Big),
onde C_{2} é constante arbitrária. Isso coincide com a solução do Método 1. Novamente, a solução nula está incluída com C_{2}=0.

Passo 9

Comentário sobre domínio e regularidade: a solução envolve (x^{3}-1)^{-2}, logo é necessário que x^{3}-1\neq0, isto é x\neq 1, para que a expressão seja bem definida (a equação original também é singular em x=1 porque o coeficiente P(x) tem polo aí). Em intervalos onde x^{3}-1 tem sinal definido e não se anula, a família acima descreve todas as soluções. Foquemos nos intervalos (-\infty,1) e (1,\infty).

Resposta

y(x)=C\exp\!\Big(\tfrac{5}{6}(x^{3}-1)^{-2}\Big)

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