Resolva a equação
, por dois métodos distintos.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando dois métodos distintos. Informação dada: é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear homogênea. A tarefa é encontrar a família de soluções gerais
. Não há imagens.
Passo 2
Método 1 — Observação básica e separação de variáveis: escrever a equação isolando
. A equação dada é
Isto mostra que a equação é multiplicativa em
e em função de
; portanto pode-se separar as variáveis
e
. A ideia de separação de variáveis é passar todos os termos que dependem de
para um lado e os que dependem de
para o outro, e integrar ambos os lados.
Passo 3
Aplicando separação: divido por
(assumindo
para integrar o log; a solução identicamente zero aparece depois) e multiplico por
:
Agora integro ambos os lados (integração indefinida). Do lado esquerdo uso a primitiva de
e do lado direito vou calcular explicitamente a integral.
Passo 4
Calcular a integral do lado direito. Faço a substituição
Substituindo na integral:
A primitiva de
é
. Assim
Voltando para
: a integral do lado direito é
.
Passo 5
Juntando as integrais (lado esquerdo e direito) obtemos
onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados (isto transforma o log natural em exponencial) obtemos a solução geral pelo método da separação:
onde
é uma constante arbitrária real. Também há a solução trivial
(incluída tomando
).
Passo 6
Método 2 — Método do fator integrante (forma linear): a equação inicial pode ser vista como uma equação linear de primeira ordem na forma padrão
com
Para uma equação linear homogênea dessa forma, o fator integrante é
A propriedade útil é que
. Como o lado direito da equação é zero, ao multiplicar por
obtemos
, o que implica
constante.
Passo 7
Calcular o fator integrante. Já calculamos uma integral muito parecida no Método 1; de fato
Portanto
Passo 8
Multiplicando a equação original por
e usando a identidade do fator integrante:
Integro e obtenho
, constante. Assim
onde
é constante arbitrária. Isso coincide com a solução do Método 1. Novamente, a solução nula está incluída com
.
Passo 9
Comentário sobre domínio e regularidade: a solução envolve
, logo é necessário que
, isto é
, para que a expressão seja bem definida (a equação original também é singular em
porque o coeficiente
tem polo aí). Em intervalos onde
tem sinal definido e não se anula, a família acima descreve todas as soluções. Foquemos nos intervalos
e
.