Calcule
(i) integral-55^54 cos (2 x) d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral definida de cos(2x) de x=-1 até x=5/4. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando o Teorema Fundamental do Cálculo, e vamos precisar da primitiva de cos(2x).

Passo 2

Para encontrar a primitiva, lembramos que se u=2x, então du=2,dx, ou dx=du/2. Assim,
integral cos(2x),dx = integral cos(u) du2 = 12 integral cos(u),du = 12 sin(u) + C
Voltando a x, a primitiva é F(x)=tfrac12sin(2x). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral-1^5/4 cos(2x),dx = Fl(5/4r) - F(-1) = 12sinl(2cdottfrac54r) - 12sin(2cdot(-1))

Passo 3

Calculando os argumentos: 2cdottfrac54=5/2 e 2cdot(-1)=-2. Como sin(-2)=-sin(2),
[\int_{-1}^{5/4} \cos(2x),dx = \frac12\sin\bigl(5/2\bigr) - \frac12\bigl(-\sin(2)\bigr) = \frac{\sin(5/2)+\sin(2)}{2}.

Resposta

sin(5/2)+sin(2)2

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