Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla
Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, uma parte da matemática que envolve integrar funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituições para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
a 4. Às vezes, é mais fácil resolver a integral se trocarmos a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos reescrever a integral com a ordem trocada. Para isso, precisamos determinar os novos limites:
-
varia de 0 a 4. - Para cada
, varia de 0 a .
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Note que
não depende de
, então podemos tratá-la como uma constante:
Então, a integral agora é:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar
, então
. Isso significa que
. Substituindo na integral:
Calculando os limites: