Calcule
I=integral0^1 integral4 x^4 e^-y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla
I = integral0^1 integral4x^4 e^-y^2 , dy , dx
Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, uma parte da matemática que envolve integrar funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituições para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Aqui, varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de a 4. Às vezes, é mais fácil resolver a integral se trocarmos a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos reescrever a integral com a ordem trocada. Para isso, precisamos determinar os novos limites:
  • I = integral0^4 integral0^y4 e^-y^2 , dx , dy varia de 0 a 4.
  • Para cada , varia de 0 a .
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integral0^y4 e^-y^2 , dx = e^-y^2 cdot ( y4 - 0 ) = y4 e^-y^2 . Note que I = integral0^4 y4 e^-y^2 , dy não depende de , então podemos tratá-la como uma constante:
Então, a integral agora é:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar I = 14 cdot 12 integral0^16 e^-z , dz = 18 [ -e^-z ]0^16 , então I = 18 ( -e^-16 + e^0 ) = 18 (1 - e^-16) . Isso significa que . Substituindo na integral:
Calculando os limites:

Resposta

I = 1 - e^-168

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