Esboce a região
compreendida entre as curvas dadas e calcule sua área
e
Passo 1
Neste exercício queremos esboçar a região R limitada pelas curvas y = x e{x2} e y = 2|x| e calcular a área dessa região. O conteúdo principal aqui é o cálculo de área entre curvas: para isso vamos precisar achar os pontos em que as duas curvas se cruzam, decidir qual delas está acima na região considerada e, por fim, integrar a diferença entre essas funções.
Passo 2
Para encontrar as interseções, resolvemos
Dividimos o estudo em x ≥ 0 e x < 0. Se x ≥ 0, |x| = x e, para x > 0, podemos dividir por x:
Se x < 0, escrevemos x e{x2} = -2x ⇒ x(e{x2} + 2)=0, que só dá x=0. Logo, as interseções não-triviais são x=0 e x=√(ln 2).
Passo 3
No intervalo [0, √(ln 2)], comparamos as duas funções: y_1(x)=x e{x2} e y_2(x)=2x. Para 0 < x < √(ln 2) temos e{x2}<2 ⇒ x e{x2}<2x. Assim, y_2(x)=2x é a curva superior e y_1(x)=x e{x2} é a curva inferior.
Passo 4
A área entre as curvas é dada por
Separamos a integral:
Passo 5
Calculamos cada parte:
Para a segunda, usamos t=x^2 ⇒ dt=2x dx, logo:
Subtraindo, obtemos
Resposta
A = \ln2 - \tfrac12