Esboce a região R compreendida entre as curvas dadas e calcule sua área
y=x e^x^2 e y=2|x|

Passo 1

Neste exercício queremos esboçar a região R limitada pelas curvas y = x e{x2} e y = 2|x| e calcular a área dessa região. O conteúdo principal aqui é o cálculo de área entre curvas: para isso vamos precisar achar os pontos em que as duas curvas se cruzam, decidir qual delas está acima na região considerada e, por fim, integrar a diferença entre essas funções.

Passo 2

Para encontrar as interseções, resolvemos
x e^x^2 = 2|x|
Dividimos o estudo em x ≥ 0 e x < 0. Se x ≥ 0, |x| = x e, para x > 0, podemos dividir por x:
e^x^2 = 2 implies x^2 = ln 2 implies x = raizln 2
Se x < 0, escrevemos x e{x2} = -2x ⇒ x(e{x2} + 2)=0, que só dá x=0. Logo, as interseções não-triviais são x=0 e x=√(ln 2).

Passo 3

No intervalo [0, √(ln 2)], comparamos as duas funções: y_1(x)=x e{x2} e y_2(x)=2x. Para 0 < x < √(ln 2) temos e{x2}<2 ⇒ x e{x2}<2x. Assim, y_2(x)=2x é a curva superior e y_1(x)=x e{x2} é a curva inferior.

Passo 4

A área entre as curvas é dada por
A=integral0^raizln2l[2x - x e^x^2r]dx
Separamos a integral:
A=integral0^raizln22x,dx - integral0^raizln2x e^x^2,dx

Passo 5

Calculamos cada parte:
integral0^raizln22x,dx = l[x^2r]0^raizln2 = ln2
Para a segunda, usamos t=x^2 ⇒ dt=2x dx, logo:
integral0^raizln2x e^x^2,dx = 12integral0^ln2e^t dt = 12l[e^tr]0^ln2 = 12(2-1)=12
Subtraindo, obtemos
A = ln2 - 12

Resposta

A = \ln2 - \tfrac12

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