Esboce a região R compreendida entre as curvas dadas e calcule sua área
y=x^2 e y=3-2 x

Passo 1

Resumo e teoria: queremos esboçar a região R entre as curvas y = x^2 e y = 3 - 2x e calcular sua área. A teoria de área entre curvas diz que, se f(x) está acima de g(x) no intervalo [a,b], então
A = integrala^b l[f(x) - g(x)r] ,dx
Para aplicar isso, vamos precisar de: 1) pontos de interseção (limites a e b); 2) identificar qual curva é f (superior) e qual é g (inferior).

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
x^2 = 3 - 2x
e reorganizamos:
x^2 + 2x - 3 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos as raízes
x = 1 e x = -3
Os correspondentes valores de y são y = 1^2 = 1 e y = (-3)^2 = 9, mas só precisamos dos limites x=-3 e x=1.

Passo 3

Precisamos verificar quem está acima no intervalo [-3,1]. Para um ponto teste, digamos x=0:
yparábola = 0^2 = 0, yreta = 3 - 2cdot0 = 3 á
Como 3 > 0, a reta y = 3 - 2x é a função f(x) superior e a parábola y = x^2 é a inferior g(x).

Passo 4

Montamos a integral da diferença:\
A = integralx=-3^1 l[(3 - 2x) - x^2r] ,dx
Calculamos a primitiva de 3 - 2x - x^2:
integral (3 - 2x - x^2) ,dx = 3x - x^2 - x^33 + C

Passo 5

Agora avaliamos a primitiva de -3 a 1:
A = l[3x - x^2 - tfracx^33r]-3^1 = l(3cdot1 - 1^2 - tfrac1^33r) - l(3(-3) - (-3)^2 - tfrac(-3)^33r)
= l(3 - 1 - tfrac13r) - l(-9 - 9 + 9r) = tfrac53 - (-9) = tfrac53 + tfrac273 = tfrac323

Resposta

323

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