Determine a solução do problema de valor inicial.
ly^prime prime+y^prime-2 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

A questão é um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Temos:
Equação: y’’ + y’ – 2y = 0
Condições iniciais: y(0) = 2 e y’(0) = –1
Para resolver, vamos usar o método da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Para achar as raízes da equação característica, supondo uma solução do tipo y = e^{rt}, substituímos na equação diferencial e obtemos:
r^2 + r - 2 = 0
Essa equação é do segundo grau em r. Podemos resolvê-la por fórmula de Bhaskara ou fatoração.

Passo 3

Resolvendo a equação característica por Bhaskara, temos:
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então as raízes são r_1 = 1 e r_2 = -2. Isso nos diz que as soluções fundamentais da equação homogênea são e^{t} e e^{-2t}.

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é combinação linear das soluções fundamentais. Logo:
y(t) = C1 e^t + C2 e^-2t
Agora precisamos de y’(t) para aplicar as condições iniciais. Derivando:
y'(t) = C1 e^t - 2 C2 e^-2t

Passo 5

Aplicando as condições iniciais em t = 0 temos um sistema para C_1 e C_2:
  1. y(0) = C_1 + C_2 = 2
  2. y’(0) = C_1 - 2C_2 = -1
    Resolvendo esse sistema, subtraímos a segunda equação da primeira multiplicada por 1:
    C_1 + C_2 = 2
    C_1 - 2C_2 = -1
    Isso dá 3C_2 = 3, então C_2 = 1. Substituindo em C_1 + 1 = 2 resulta C_1 = 1.

Passo 6

Com os valores das constantes, a solução do PVI fica:
y(t) = e^t + e^-2t

Resposta

y(t) = e^{t} + e^{-2t}

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