Determine a solução do problema de valor inicial.
Passo 1
A questão é um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Temos:
Equação: y’’ + y’ – 2y = 0
Condições iniciais: y(0) = 2 e y’(0) = –1
Para resolver, vamos usar o método da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Equação: y’’ + y’ – 2y = 0
Condições iniciais: y(0) = 2 e y’(0) = –1
Para resolver, vamos usar o método da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Para achar as raízes da equação característica, supondo uma solução do tipo y = e^{rt}, substituímos na equação diferencial e obtemos:
Essa equação é do segundo grau em r. Podemos resolvê-la por fórmula de Bhaskara ou fatoração.
Passo 3
Resolvendo a equação característica por Bhaskara, temos:
Então as raízes são r_1 = 1 e r_2 = -2. Isso nos diz que as soluções fundamentais da equação homogênea são e^{t} e e^{-2t}.
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é combinação linear das soluções fundamentais. Logo:
Agora precisamos de y’(t) para aplicar as condições iniciais. Derivando:
Passo 5
Aplicando as condições iniciais em t = 0 temos um sistema para C_1 e C_2:
- y(0) = C_1 + C_2 = 2
- y’(0) = C_1 - 2C_2 = -1
Resolvendo esse sistema, subtraímos a segunda equação da primeira multiplicada por 1:
C_1 + C_2 = 2
C_1 - 2C_2 = -1
Isso dá 3C_2 = 3, então C_2 = 1. Substituindo em C_1 + 1 = 2 resulta C_1 = 1.
Passo 6
Com os valores das constantes, a solução do PVI fica:
Resposta
y(t) = e^{t} + e^{-2t}