Calcule I=integral0^1 integral0^raiz1-z integral0^x sen(2 z)4-z d y d x d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla I=integral0^1integral0^raiz1-zintegral0^xsin(2z)4-z,dy,dx,dz. Isso pertence ao conteúdo de integrais múltiplas em coordenadas cartesianas e vamos precisar executar as integrais internas em ordem: primeiro em y, depois em x e, por fim, em z.

Passo 2

Como a função integranda dfracsin(2z)4-z não depende de y, podemos fazer imediatamente
integral0^xsin(2z)4-z,dy=sin(2z)4-zintegral0^xdy=sin(2z)4-z;x

Passo 3

Agora integramos em x de 0 até raiz1-z. Temos
integral0^raiz1-zx,dx=[x^22]0^raiz1-z=1-z2

Passo 4

Substituindo esses resultados de volta, a integral passa a ser unidimensional em z:
I=integral0^11-z2cdotsin(2z)4-z,dz=12integral0^1(1-z)sin(2z)4-z,dz

Passo 5

Não existe primitiva elementar simples para integral(1-z)sin(2z)4-z,dz, então podemos deixar o resultado nessa forma ou obter uma aproximação numérica.

Passo 6

Fazendo uma quadratura numérica (por exemplo, método de Simpson), obtemos
Iapprox0,0388

Resposta

I=tfrac12integral0^1(1-z)sin(2z)4-z,dzapprox0,0388.

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