Para cada grupo, calcular as integrais abaixo utilizando as regras: Trapézios, Simpson 1 / 3 e Simpson 3/8.
e. integral0^2 e^2 x sin 3 x d x,

Passo 1

O problema pede para aproximar a integral I=integral0^2e^2xsin(3x),dx usando três regras de Newton–Cotes: Trapézios, Simpson 1/3 e Simpson 3/8. Vamos definir a função, escolher os nós mínimos para cada método e aplicar as fórmulas.

Passo 2

Definimos f(x)=e^2xsin(3x). Para avaliar nos nós precisamos de:
f(0)=e^0sin0=0,
f(1)=e^2sin3approx7,3891times0,1411approx1,0427,
f(2)=e^4sin6approx54,5982times(-0,2794)approx-15,2461,
f(2/3)=e^4/3sin2approx3,7937times0,9093approx3,4497,
f(4/3)=e^8/3sin4approx14,3790times(-0,7568)approx-10,8822.

Passo 3

Para a regra do trapézio usamos um subintervalo ( n=1), com h=2-01=2. A fórmula é
T=h2l(f(0)+f(2)r)
Substituindo:
T=22l(0+(-15,2461)r)=-15,2461

Passo 4

Na regra de Simpson 1/3 usamos dois subintervalos ( n=2), com h=2-02=1. A fórmula é
S1/3=h3l(f(x0)+4f(x1)+f(x2)r)
Substituindo x0=0,x1=1,x2=2:
S1/3=13l(0+4times1,0427+(-15,2461)r)=13(-11,0753)approx-3,6918

Passo 5

Para Simpson 3/8 usamos três subintervalos ( n=3), com h=2-03=tfrac23. A fórmula é
S3/8=3h8l(f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)r)
Aqui x0=0,x1=2/3,x2=4/3,x3=2. Substituindo:
S3/8=3(2/3)8l(0+3times3,4497+3times(-10,8822)+(-15,2461)r) =28(-37,543)approx-9,3858

Resposta

Trapézio: -15,2461; Simpson 1/3: -3,6918; Simpson 3/8: -9,3858.

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