Em um experimento mecânico construiu-se um dinamômetro com o auxílio de um elastômero (elástico). Os dados do experimento são apresentados na tabela. Determine uma curva de ajuste de Mínimos Quadrados utilizando uma aproximação polinomial com o seguinte formato: f(x)=a1 cdot x^2+a2 cdot x^3+a3 cdot x^4. Compute os erros absolutos e relativos em cada um dos pontos. Ilustre graficamente com os pontos da tabela e com a curva de ajuste encontrada.
xi(kg) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
f(xi)(cm) 0,0 1,0 5,5 13,0 23,5 34,5 42,0 47,0 50,5 53,0 54,5 55,5

Passo 1

Neste exercício vamos ajustar por Mínimos Quadrados uma curva polinomial de grau 4, mas sem termos de grau 0 e 1, ou seja f(x)=a₁·x²+a₂·x³+a₃·x⁴. Precisaremos montar as equações normais usando somas de potências de x e produtos xᵏ·y, resolver para a₁,a₂,a₃ e depois calcular em cada ponto o valor ajustado f(xᵢ), o erro absoluto |f(xᵢ)−yᵢ| e o erro relativo |f(xᵢ)−yᵢ|/|yᵢ|.

Passo 2

Listamos os dados e calculamos as somas necessárias: S₄=∑xᵢ⁴=39974, S₅=381876, S₆=3749966, S₇=37567596, S₈=382090214. E os vetores b: T₂=∑yᵢxᵢ²=24884, T₃=224269, T₄=2108186.

Passo 3

Montamos as normais AᵀA·a=Aᵀy, com
S₄ & S₅ & S₆S₅ & S₆ & S₇S₆ & S₇ & S₈a₁a₂a₃=T₂T₃T₄.
Aplicamos eliminação de Gauss (ou inversão de matriz) e obtivemos aproximadamente:
a₁approx2.402, a₂approx-0.2553, a₃approx0.00702
Com esses coeficientes, em cada xᵢ calculamos f̂ᵢ=a₁xᵢ²+a₂xᵢ³+a₃xᵢ⁴, depois erro absoluto Eᵢ=|f̂ᵢ−yᵢ| e erro relativo εᵢ=Eᵢ/|yᵢ|.

Passo 4

Segue tabela resumida (valores arredondados):
xᵢ | yᵢ | f̂ᵢ | Eᵢ | εᵢ
0 | 0.0 | 0.000 | 0.000 | –
1 | 1.0 | 2.154 | 1.154 | 1.154
2 | 5.5 | 7.678 | 2.178 | 0.396
3 |13.0 |15.294 | 2.294 | 0.177
4 |23.5 |23.890 | 0.390 | 0.017
5 |34.5 |32.526 | 1.974 | 0.057
6 |42.0 |40.423 | 1.577 | 0.037
7 |47.0 |47.415 | 0.415 | 0.009
8 |50.5 |51.774 | 1.274 | 0.025
9 |53.0 |54.021 | 1.021 | 0.019
10|54.5 |55.100 | 0.600 | 0.011
11|55.5 |53.722 | 1.778 | 0.032

Passo 5

Para ilustrar, plote os pontos (xᵢ,yᵢ) e sobreponha a curva contínua f(x)=2.402x²−0.2553x³+0.00702x⁴ no intervalo [0,11].

Resposta

A curva ajustada é
f(x)=2.402,x^2-0.2553,x^3+0.00702,x^4
Os erros absolutos e relativos em cada ponto estão na tabela abaixo:
xᵢ | yᵢ | f̂ᵢ | Eᵢ=|f̂ᵢ−yᵢ| | εᵢ=Eᵢ/|yᵢ|
0 | 0.0 | 0.000 | 0.000 | –
1 | 1.0 | 2.154 | 1.154 | 1.154
2 | 5.5 | 7.678 | 2.178 | 0.396
3 | 13.0 |15.294 | 2.294 | 0.177
4 | 23.5 |23.890 | 0.390 | 0.017
5 | 34.5 |32.526 | 1.974 | 0.057
6 | 42.0 |40.423 | 1.577 | 0.037
7 | 47.0 |47.415 | 0.415 | 0.009
8 | 50.5 |51.774 | 1.274 | 0.025
9 | 53.0 |54.021 | 1.021 | 0.019
10 | 54.5 |55.100 | 0.600 | 0.011
11 | 55.5 |53.722 | 1.778 | 0.032
Para visualização, basta plotar os pontos experimentais e a curva f(x) no mesmo gráfico.

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