Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 2 a 4. Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e separar a fração em partes mais simples que a gente já sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador . A gente precisa fatorar essa expressão para conseguir simplificar a fração. Vamos encontrar dois números que multiplicados dão 4 e somados dão -5. Esses números são -1 e -4. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos reescrever a fração em termos de frações parciais. A ideia é expressar essa fração como a soma de duas frações mais simples:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação. Primeiro, vamos definir :
Em seguida, definimos :
Passo 5
Agora que temos e , podemos reescrever a integral original usando essas frações parciais:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes e integrar cada uma individualmente:
A integral de é , então aplicando isso:
Passo 7
Agora, vamos avaliar as integrais nos limites de 2 a 4:
Aqui, percebemos que não está definido (tende ao infinito negativo), o que indica que a integral é impropria no limite superior . Portanto, precisamos analisar o comportamento dessa integral.
Resposta
A integral não converge porque a função possui uma descontinuidade em , tornando a integral imprópria e divergente.