Calcule:
i) integral2^4 x-2x^2-5 x+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 2 a 4. Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e separar a fração em partes mais simples que a gente já sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador x^2-5x+4 = (x - 1)(x - 4) . A gente precisa fatorar essa expressão para conseguir simplificar a fração. Vamos encontrar dois números que multiplicados dão 4 e somados dão -5. Esses números são -1 e -4. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos reescrever a fração x-2(x - 1)(x - 4) = Ax - 1 + Bx - 4 em termos de frações parciais. A ideia é expressar essa fração como a soma de duas frações mais simples:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar x - 2 = A(x - 4) + B(x - 1) e 1 - 2 = A(1 - 4) + B(1 - 1) -1 = -3A A = 13 , vamos multiplicar ambos os lados da equação por 4 - 2 = A(4 - 4) + B(4 - 1) 2 = 3B B = 23 para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação. Primeiro, vamos definir :
Em seguida, definimos :

Passo 5

Agora que temos integral2^4 x-2x^2-5x+4 , dx = integral2^4 ( 1/3x - 1 + 2/3x - 4 ) dx e , podemos reescrever a integral original usando essas frações parciais:

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes e integrar cada uma individualmente:
integral2^4 1/3x - 1 , dx + integral2^4 2/3x - 4 , dx
A integral de 13 ln|x - 1| |2^4 + 23 ln|x - 4| |2^4 é , então aplicando isso:

Passo 7

Agora, vamos avaliar as integrais nos limites de 2 a 4:
13 ( ln|4 - 1| - ln|2 - 1| ) + 23 ( ln|4 - 4| - ln|2 - 4| )
Simplificando:
13 (ln 3 - ln 1) + 23 (ln 0 - ln 2)
Aqui, percebemos que não está definido (tende ao infinito negativo), o que indica que a integral é impropria no limite superior . Portanto, precisamos analisar o comportamento dessa integral.

Resposta

A integral não converge porque a função possui uma descontinuidade em , tornando a integral imprópria e divergente.

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