Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se a integral
é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e convergência de integrais. Vamos precisar analisar o comportamento da função dentro da integral tanto perto de 0 quanto no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral é convergente se ela tem um valor finito quando calculamos o limite do intervalo de integração. Já é divergente se o resultado vai para infinito ou não existe um limite finito.
No nosso caso, a integral é de
a
, então precisamos verificar o comportamento da função
conforme
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos analisar o que acontece com a função
quando
fica muito grande. Para
,
é aproximadamente igual a
. Então, a raiz quadrada fica:
Portanto, a função se aproxima de:
Passo 4
Agora, precisamos entender o comportamento de
. Sabemos que o cosseno ao quadrado,
, oscila entre 0 e 1 para qualquer valor de
. Assim,
varia entre 1 e 2. Isso nos dá uma ideia de que:
Passo 5
Agora, vamos comparar nossa integral com uma integral conhecida. Sabemos que:
é uma integral divergente, pois é o famoso integral harmônico que tende ao infinito. Como nossa função está sempre maior ou igual a
para
, podemos concluir que:
Passo 6
Além disso, mesmo considerando que
faz a função oscilar, essa oscilação não é suficiente para “cancelar” o crescimento do termo
. Ou seja, as oscilações não fazem a integral convergir.
Resposta
A integral
é divergente.