Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
g) integral0^+infty 1+cos ^2(x)raiz1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se a integral
integral0^+infty 1 + cos^2(x)raiz1 + x^2 , dx
é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e convergência de integrais. Vamos precisar analisar o comportamento da função dentro da integral tanto perto de 0 quanto no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral é convergente se ela tem um valor finito quando calculamos o limite do intervalo de integração. Já é divergente se o resultado vai para infinito ou não existe um limite finito.
No nosso caso, a integral é de a , então precisamos verificar o comportamento da função conforme se aproxima de .

Passo 3

Vamos analisar o que acontece com a função raiz1 + x^2 approx raizx^2 = x quando 1 + cos^2(x)x fica muito grande. Para , é aproximadamente igual a . Então, a raiz quadrada fica:
Portanto, a função se aproxima de:

Passo 4

Agora, precisamos entender o comportamento de 1x <= 1 + cos^2(x)x <= 2x . Sabemos que o cosseno ao quadrado, , oscila entre 0 e 1 para qualquer valor de . Assim, varia entre 1 e 2. Isso nos dá uma ideia de que:

Passo 5

Agora, vamos comparar nossa integral com uma integral conhecida. Sabemos que:
integral1^+infty 1x , dx
é uma integral divergente, pois é o famoso integral harmônico que tende ao infinito. Como nossa função está sempre maior ou igual a integral1^+infty 1 + cos^2(x)x , dx >= integral1^+infty 1x , dx = +infty para , podemos concluir que:

Passo 6

Além disso, mesmo considerando que faz a função oscilar, essa oscilação não é suficiente para “cancelar” o crescimento do termo . Ou seja, as oscilações não fazem a integral convergir.

Resposta

A integral
integral0^+infty 1 + cos^2(x)raiz1 + x^2 , dx
é divergente.

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