Calcule:
e) integral-infty^+infty|x| e^-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente integrais impróprias e funções pares. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com funções absolutas e explorar simetrias da função para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a função |-x| e^-(-x)^2 = |x| e^-x^2 = f(x) é par. Uma função é par se integral-infty^+infty |x| e^-x^2 , dx = 2 integral0^+infty x e^-x^2 , dx . No nosso caso:
Isso significa que a integral de a da função par é duas vezes a integral de a . Então podemos simplificar:

Passo 3

Agora, vamos focar na integral u = -x^2 implies du = -2x , dx implies -12 du = x , dx . Para resolver isso, usamos uma substituição simples. Vamos definir:

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral0^+infty x e^-x^2 , dx = -12 integralu(0)^u(+infty) e^u , du
Quando -12 integral0^-infty e^u , du = 12 integral-infty^0 e^u , du , , e quando , . Portanto:

Passo 5

Integrando 12 [ e^u ]-infty^0 = 12 ( e^0 - limu to -infty e^u ) = 12 (1 - 0) = 12 de a :

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral-infty^+infty |x| e^-x^2 , dx = 2 times 12 = 1

Resposta

integral-infty^+infty |x| e^-x^2 , dx = 1

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