Usando a convolução, calcule a transformada inversa das seguintes funções:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace da função
utilizando a convolução. Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente aplicando o Teorema da Convolução. Para resolver, vamos precisar conhecer as transformadas inversas básicas e como aplicar a convolução entre duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada inversa de Laplace. Se temos uma função no domínio de
, a transformada inversa nos traz de volta para o tempo
. No caso, queremos encontrar
.
Passo 3
O Teorema da Convolução nos diz que a transformada inversa do produto de duas funções de Laplace é a convolução das transformadas inversas dessas funções no domínio do tempo. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar as transformadas inversas de
e
:
Aplicando isso:
Passo 5
Agora, aplicamos a convolução entre
e
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Calculando a integral:
Substituindo de volta na expressão: