Usando a convolução, calcule a transformada inversa das seguintes funções:
b) mathscrL^-1[1(s-4)(s-3)]

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace da função utilizando a convolução. Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente aplicando o Teorema da Convolução. Para resolver, vamos precisar conhecer as transformadas inversas básicas e como aplicar a convolução entre duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada inversa de Laplace. Se temos uma função no domínio de , a transformada inversa nos traz de volta para o tempo . No caso, queremos encontrar .

Passo 3

O Teorema da Convolução nos diz que a transformada inversa do produto de duas funções de Laplace é a convolução das transformadas inversas dessas funções no domínio do tempo. Matematicamente, isso é representado por:
mathscrL^-1F(s)G(s) = f(t) * g(t) = integral0^t f(tau)g(t - tau) , dtau
Aqui, e .

Passo 4

Vamos encontrar as transformadas inversas de mathscrL^-11s - a = e^at e f(t) = mathscrL^-11s-4 = e^4t :
g(t) = mathscrL^-11s-3 = e^3t
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, aplicamos a convolução entre f(t) * g(t) = integral0^t e^4tau cdot e^3(t - tau) , dtau e e^4tau cdot e^3(t - tau) = e^3t cdot e^tau :
e^3t integral0^t e^tau , dtau
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Calculando a integral:
integral0^t e^tau , dtau = e^tau |0^t = e^t - 1
Substituindo de volta na expressão:
f(t) * g(t) = e^3t (e^t - 1) = e^4t - e^3t

Resposta

mathscrL^-1[1(s-4)(s-3)] = e^4t - e^3t

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