Calcule I=integralC F cdot d r
F(x, y)=(x+2 y) i+(x-y) j C: x=2 cos t, y=4 sen t com t in[0, pi4]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
I = ∫_C F·dr
do campo vetorial
F(x,y) = (x+2y)i + (x−y)j
sobre a curva C dada por
x=2 cos t, y=4 sen t com t∈[0,π/4].
O conteúdo envolve parâmetro de curva, produto escalar e integração.

Passo 2

Vamos parametrizar C:
r(t) = (x(t),y(t)) = (2cos t,,4sin t), t∈[0,π/4]
Então
dx = x’(t)dt = −2\sin t,dt,\quad dy = y’(t)dt = 4\cos t,dt.
E F(r(t)) é dado por
x+2y = 2cos t + 8sin t, x−y = 2cos t −4sin t

Passo 3

Substituindo em
I = ∫_0^{π/4} [ (x+2y)dx + (x−y)dy ]
recebemos
I = ∫0^π/4 l(2cos t+8sin tr)(−2sin t) + (2cos t−4sin t)(4cos t),dt
Expandindo:
I = ∫0^π/4 l(−4cos tsin t −16sin^2 t +8cos^2 t −16sin tcos tr)dt

Passo 4

Usando identidades trigonométricas:
8cos^2 t −16sin^2 t = −4 +12cos2t, sin tcos t = tfrac12sin2t,
o integrando vira
−4 +12cos2t −10sin2t
Logo
I = ∫0^π/4 (−4 +12cos2t −10sin2t),dt

Passo 5

Integramos termo a termo:
∫(−4)dt = −4t, integral12cos2t,dt = 6sin2t, integral(−10sin2t)dt = 5cos2t
Avalia em 0 e π/4:
I = l[−4t +6sin2t +5cos2tr]0^π/4 = (−π+6) − 5 = 1−π

Resposta

1 - pi

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