Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
I = ∫_C F·dr
do campo vetorial
F(x,y) = (x+2y)i + (x−y)j
sobre a curva C dada por
x=2 cos t, y=4 sen t com t∈[0,π/4].
O conteúdo envolve parâmetro de curva, produto escalar e integração.
I = ∫_C F·dr
do campo vetorial
F(x,y) = (x+2y)i + (x−y)j
sobre a curva C dada por
x=2 cos t, y=4 sen t com t∈[0,π/4].
O conteúdo envolve parâmetro de curva, produto escalar e integração.
Passo 2
Vamos parametrizar C:
Então
dx = x’(t)dt = −2\sin t,dt,\quad dy = y’(t)dt = 4\cos t,dt.
E F(r(t)) é dado por
dx = x’(t)dt = −2\sin t,dt,\quad dy = y’(t)dt = 4\cos t,dt.
E F(r(t)) é dado por
Passo 3
Substituindo em
I = ∫_0^{π/4} [ (x+2y)dx + (x−y)dy ]
recebemos
I = ∫_0^{π/4} [ (x+2y)dx + (x−y)dy ]
recebemos
Expandindo:
Passo 4
Usando identidades trigonométricas:
o integrando vira
Logo
Passo 5
Integramos termo a termo:
Avalia em 0 e π/4: