Determine se o campo F é conservativo( ou campo gradiente). Se for encontre a função potencial f.
F(x, y)=y z i+x z j+(x y+3 z^2) k

Passo 1

Temos o campo vec F(x,y,z)=yz, i + xz, j + (xy+3z^2), k. Queremos saber se ele é conservativo, isto é, se existe uma função potencial f tal que nabla f=vec F. Para isso, vamos checar o rotor e, se for zero em um domínio simplesmente conectado, integrar as componentes para achar f.

Passo 2

Em R^3, que é simplesmente conectado, um campo é conservativo se e somente se nabla times vec F = 0. O rotor de vec F=(F1,F2,F3) é
nabla times vec F = l(partial F3partial y - partial F2partial z,;partial F1partial z - partial F3partial x,;partial F2partial x - partial F1partial yr)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas:
partial F3partial y = x, partial F2partial z = x, partial F1partial z = y, partial F3partial x = y, partial F2partial x = z, partial F1partial y = z
Então
nabla times vec F = (x - x,;y - y,;z - z) = 0
e o campo é conservativo.

Passo 4

Para achar a potencial f, integramos
partial fpartial x = F1 = yz
em x, obtendo
f(x,y,z) = xyz + g(y,z)
Como
partial fpartial y = xz + partial gpartial y = F2 = xz,
segue partial gpartial y=0 e g(y,z)=h(z). Por fim,
partial fpartial z = xy + h'(z) = F3 = xy + 3z^2
admite h'(z)=3z^2 e, integrando,
h(z)=z^3+C.

Resposta

f(x,y,z)=xyz+z^3+C

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