Estude com relação a máximos e mínimos locais e pontos de sela, a função f(x, y)=
1x^2+1y+x y: x>0 e y>0

Passo 1

A função é de duas variáveis em um domínio aberto (,x>0, e ,y>0,). Para estudar máximos, mínimos locais e pontos de sela, precisamos encontrar os pontos críticos resolvendo ,\nabla f=0, e depois usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais e achar o ponto crítico. Temos:
partial fpartial x=-2x^3+y,partial fpartial y=-1y^2+x

Passo 3

Igualando a zero:
-2x^3+y=0Rightarrow y=2x^3,
-1y^2+x=0Rightarrow x=1y^2

Passo 4

Substituindo x=1/y^2 em y=2/x^3 ou vice-versa, obtemos
2x^3=1raizxRightarrow x^5/2=2Rightarrow x=2^2/5,
e então
y=1raizx=2^-1/5

Passo 5

Calcular a Hessiana e avaliar no ponto crítico. As derivadas de segunda ordem são:
fxx=6x^4, fyy=2y^3, fxy=1

Passo 6

O discriminante da Hessiana é
D=fxxfyy-(fxy)^2=6x^4cdot2y^3-1=12x^4y^3-1

Passo 7

No ponto (2^2/5,2^-1/5), temos x^4y^3=2, logo
D=122-1=5>0e fxx(2^2/5,2^-1/5)=6(2^2/5)^4>0

Passo 8

Como D>0 e fxx>0, o ponto é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é l(2^2/5,2^-1/5r), que é um mínimo local. Não há máximos nem pontos de sela no domínio x>0, y>0.

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