Calcule
onde
é a bola de raio
centrada na origem.
Passo 1
O enunciado dá uma integral tripla sobre a bola centrada na origem de raio
e pede o valor numérico dessa integral. Especificamente:
- O domínio
é a bola centrada na origem de raio , ou seja, o conjunto . - A função a ser integrada é
.
Pergunta do enunciado: calcular
Passo 2
Por que usar coordenadas esféricas? Aqui a região de integração é uma bola (série de esferas concêntricas) e a integranda depende apenas da distância ao origem,
. Em problemas com simetria esférica é muito mais simples trocar para coordenadas esféricas, porque as superfícies de nível e os limites ficam simples. Vou então apresentar a mudança de variáveis.
As coordenadas esféricas
são dadas por:
onde
é a distância ao origem,
é o ângulo azimutal no plano
e
é o ângulo polar medido a partir do eixo
positivo. Aqui
e
.
Passo 3
Precisamos também do elemento de volume em coordenadas esféricas (o jacobiano da transformação). Geometricamente, um pequeno volume esférico tem volume aproximado
. Formalmente:
Vou usar isso diretamente porque é a fórmula padrão para mudanças para coordenadas esféricas. (Se preferir, essa expressão vem do determinante da matriz jacobiana da transformação.)
Passo 4
Transformando a integranda: como
é justamente a distância ao origem, em coordenadas esféricas isso é simplesmente
. Portanto o integrando
vira
Passo 5
Agora escrevemos a integral com os limites apropriados para a bola de raio
:
Aqui usei que, para cada direção
,
vai de
até
.
Passo 6
A integral é produto de uma parte que depende de
, outra de
e outra de
, então podemos separar:
Agora calculamos cada uma:
- Integral em
:
- Integral em
(usar antiderivada de ):
(Explicando:
e
.)
Passo 7
- Integral em
(regra da potência):
Aqui usamos a regra:
para
.
Passo 8
Multiplicando os resultados:
Portanto o valor da integral é
.