Calcule
\iiint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V
onde B é a bola de raio a>0 centrada na origem.

Passo 1

O enunciado dá uma integral tripla sobre a bola centrada na origem de raio a>0 e pede o valor numérico dessa integral. Especificamente:
  • O domínio B é a bola centrada na origem de raio a, ou seja, o conjunto \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2}\}.
  • A função a ser integrada é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Pergunta do enunciado: calcular
\iiint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\\ dV.

Passo 2

Por que usar coordenadas esféricas? Aqui a região de integração é uma bola (série de esferas concêntricas) e a integranda depende apenas da distância ao origem, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Em problemas com simetria esférica é muito mais simples trocar para coordenadas esféricas, porque as superfícies de nível e os limites ficam simples. Vou então apresentar a mudança de variáveis.
As coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) são dadas por:
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi,
onde r\ge 0 é a distância ao origem, \theta é o ângulo azimutal no plano xy e \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo. Aqui 0\le \theta\le 2\pi e 0\le \varphi\le \pi.

Passo 3

Precisamos também do elemento de volume em coordenadas esféricas (o jacobiano da transformação). Geometricamente, um pequeno volume esférico tem volume aproximado r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta. Formalmente:
dV = r^{2}\sin\varphi\;dr\;d\varphi\;d\theta.
Vou usar isso diretamente porque é a fórmula padrão para mudanças para coordenadas esféricas. (Se preferir, essa expressão vem do determinante da matriz jacobiana da transformação.)

Passo 4

Transformando a integranda: como \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é justamente a distância ao origem, em coordenadas esféricas isso é simplesmente r. Portanto o integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\\ dV vira
r \cdot \bigl(r^{2}\sin\varphi\;dr\;d\varphi\;d\theta\bigr) = r^{3}\sin\varphi\;dr\;d\varphi\;d\theta.

Passo 5

Agora escrevemos a integral com os limites apropriados para a bola de raio a:
\iiint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\\ dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{r=0}^{a} r^{3}\sin\varphi\;dr\;d\varphi\;d\theta.
Aqui usei que, para cada direção (\theta,\varphi), r vai de 0 até a.

Passo 6

A integral é produto de uma parte que depende de \theta, outra de \varphi e outra de r, então podemos separar:
\int_{0}^{2\pi} d\theta \;\cdot\; \int_{0}^{\pi} \sin\varphi\;d\varphi \;\cdot\; \int_{0}^{a} r^{3}\;dr.
Agora calculamos cada uma:
  • Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Integral em \varphi (usar antiderivada de \sin\varphi):
\int_{0}^{\pi} \sin\varphi\;d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) - ( -1) = 2.
(Explicando: \cos\pi=-1 e \cos 0=1.)

Passo 7

  • Integral em r (regra da potência):
\int_{0}^{a} r^{3}\;dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{a} = \frac{a^{4}}{4}.
Aqui usamos a regra: \int r^{n}dr = \dfrac{r^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.

Passo 8

Multiplicando os resultados:
2\pi \times 2 \times \frac{a^{4}}{4} = \frac{4\pi a^{4}}{4} = \pi a^{4}.
Portanto o valor da integral é \pi a^{4}.

Resposta

\pi a^{4}

Exercícios relacionados