(Fuvest) Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é
a) menor que 7 \%.
b) maior que 7 \%, mas menor que 10 \%.
c) maior que 10 \%, mas menor que 13 \%.
d) maior que 13 \%, mas menor que 16 \%.
e) maior que 16 \%.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • 20 times no campeonato.
  • Destes, 6 são paulistas.
  • Cada par de times se enfrenta duas vezes (ida e volta).
    A pergunta é: qual é a porcentagem dos jogos em que os dois adversários são paulistas? (Temas dados: números de jogos totais e números de jogos entre paulistas.)

Passo 2

Vamos contar primeiro o número total de jogos do campeonato. Para isso precisamos saber quantos pares diferentes de times existem e lembrar que cada par joga duas vezes.
  • O número de pares distintos escolhendo 2 times entre 20 é dado por \binom{20}{2}. Vou explicar essa fórmula: \binom{n}{2} conta quantos subconjuntos com 2 elementos podemos formar de um conjunto com n elementos; é igual a
\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.
Aqui n=20, então
\binom{20}{2}=\frac{20\cdot19}{2}.
Esse valor dá o número de pares distintos de times.

Passo 3

Agora calculamos \binom{20}{2}. Fazer as contas passo a passo:
\binom{20}{2}=\frac{20\cdot19}{2}=\frac{380}{2}=190.
Como cada par joga duas vezes, o número total de jogos é
\text{jogos totais}=190\cdot2=380.
Explicação rápida: contar pares distintos evita contar duas vezes o mesmo confronto; multiplicamos por 2 porque ida e volta são jogos distintos.

Passo 4

Agora contamos quantos jogos têm os dois times paulistas. Entre os 6 paulistas o número de pares distintos é \binom{6}{2}. Aplicando a mesma fórmula:
\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=\frac{30}{2}=15.
Cada par paulista também joga duas vezes, então o número de jogos entre paulistas é
\text{jogos paulistas}=15\cdot2=30.

Passo 5

Precisamos da porcentagem de jogos que são entre paulistas. A porcentagem é a razão entre \text{jogos paulistas} e \text{jogos totais} multiplicada por 100\%. Montando a conta:
\text{porcentagem}=\frac{30}{380}\times100\%.
Simplificando a fração \frac{30}{380}:
\frac{30}{380}=\frac{3}{38}.
Agora o valor em porcentagem (e uma aproximação decimal):
\frac{3}{38}\times100\%\approx 7{,}8947\%\approx 7{,}9\%.
Explicando: dividir dá a fração da parcela; multiplicar por 100\% converte em porcentagem.

Passo 6

Comparando o valor aproximado 7{,}9\% com as alternativas:
  • (a) menor que 7\%: não, porque 7{,}9\%>7\%.
  • (b) maior que 7\%, mas menor que 10\%: sim, porque 7{,}9\% está entre 7\% e 10\%.
    As outras alternativas (c),(d),(e) são intervalos maiores que 10\% ou acima de 13\%, então não cabem.

Resposta

(b)

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