(Fuvest) Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é
a) menor que
.
b) maior que
, mas menor que
.
c) maior que
, mas menor que
.
d) maior que
, mas menor que
.
e) maior que
.
a) menor que
b) maior que
c) maior que
d) maior que
e) maior que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há
times no campeonato. - Destes,
são paulistas. - Cada par de times se enfrenta duas vezes (ida e volta).
A pergunta é: qual é a porcentagem dos jogos em que os dois adversários são paulistas? (Temas dados: números de jogos totais e números de jogos entre paulistas.)
Passo 2
Vamos contar primeiro o número total de jogos do campeonato. Para isso precisamos saber quantos pares diferentes de times existem e lembrar que cada par joga duas vezes.
- O número de pares distintos escolhendo
times entre é dado por . Vou explicar essa fórmula: conta quantos subconjuntos com elementos podemos formar de um conjunto com elementos; é igual a
Aqui
, então
Esse valor dá o número de pares distintos de times.
Passo 3
Agora calculamos
. Fazer as contas passo a passo:
Como cada par joga duas vezes, o número total de jogos é
Explicação rápida: contar pares distintos evita contar duas vezes o mesmo confronto; multiplicamos por
porque ida e volta são jogos distintos.
Passo 4
Agora contamos quantos jogos têm os dois times paulistas. Entre os
paulistas o número de pares distintos é
. Aplicando a mesma fórmula:
Cada par paulista também joga duas vezes, então o número de jogos entre paulistas é
Passo 5
Precisamos da porcentagem de jogos que são entre paulistas. A porcentagem é a razão entre
e
multiplicada por
. Montando a conta:
Simplificando a fração
:
Agora o valor em porcentagem (e uma aproximação decimal):
Explicando: dividir dá a fração da parcela; multiplicar por
converte em porcentagem.
Passo 6
Comparando o valor aproximado
com as alternativas:
- (a) menor que
: não, porque . - (b) maior que
, mas menor que : sim, porque está entre e .
As outras alternativas (c),(d),(e) são intervalos maiores queou acima de , então não cabem.
Resposta
(b)