(Upe) Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante tipicamente oriental solicita aos seus clientes que retirem seus calçados na entrada do estabelecimento. Em certa noite, 6 pares de sapato e 2 pares de sandálias, todos distintos, estavam dispostos na entrada do restaurante, em duas fileiras com quatro pares de calçados cada uma. Se esses pares de calçados forem organizados nessas fileiras de tal forma que as sandálias devam ocupar as extremidades da primeira fila, de quantas formas diferentes podem-se organizar esses calçados nas duas fileiras?
a) 6 !
b) 2 . 6!
c) 4.6 !
d) 6.6 !
e) 8 !

Passo 1

O enunciado pede: contar de quantas formas diferentes podemos organizar 6 pares de sapato distintos e 2 pares de sandália distintos em duas fileiras com 4 pares cada, sob a restrição de que as sandálias ocupem as extremidades da primeira fila. Informações dadas:
  • Existem 8 pares distintos no total: 6 sapatos + 2 sandálias.
  • As fileiras têm 4 posições cada (ou seja, 8 posições distintas no total).
  • A “primeira fila” é distinguível da segunda (o enunciado especifica a primeira fila).
  • As sandálias devem ocupar as duas extremidades da primeira fila (ou seja, as posições extremas dessa fila).

Passo 2

Modelagem das posições: numeremos as posições como segue para facilitar:
  • Primeira fila: posições 1,2,3,4 (extremidades são 1 e 4).
  • Segunda fila: posições 5,6,7,8.
    Cada arranjo válido é uma atribuição de cada par de calçado a uma das 8 posições distintas. Como todos os pares são distintos, estamos contando permutações (ou seja, colocação ordenada) dos 8 objetos nas 8 posições, sujeitas à restrição sobre as duas posições extremas da primeira fila.

Passo 3

Contagem das maneiras de colocar as sandálias nas extremidades da primeira fila: temos 2 sandálias distintas e 2 posições distintas ( 1 e 4). O número de maneiras de atribuir 2 objetos distintos a 2 posições distintas é
2!.
Explicação rápida: para a posição 1 2 escolhas (qual das duas sandálias), depois sobra 1 escolha para a posição 4; multiplicando 2\times1=2!=2.

Passo 4

Contagem das maneiras de colocar os restantes 6 sapatos nas 6 posições livres: após fixar as sandálias nas extremidades da primeira fila, restam exatamente 6 posições (posições 2,3,5,6,7,8) e 6 pares distintos. O número de permutações desses 6 objetos em 6 posições é
6!.
Lembrete do que é 6!: 6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720.

Passo 5

Aplicando o princípio multiplicativo (regra do produto): escolhas independentes em etapas consecutivas se multiplicam. Primeiro posicionamos as sandálias ( 2! maneiras) e depois posicionamos os 6 sapatos ( 6! maneiras). Logo o total de arranjos válidos é
2! \cdot 6! = 2\cdot 6!.
Opcionalmente, numericamente, 2\cdot6! = 2\cdot720 = 1440. Isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) 2\cdot6!

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