(Upe) Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante tipicamente oriental solicita aos seus clientes que retirem seus calçados na entrada do estabelecimento. Em certa noite, 6 pares de sapato e 2 pares de sandálias, todos distintos, estavam dispostos na entrada do restaurante, em duas fileiras com quatro pares de calçados cada uma. Se esses pares de calçados forem organizados nessas fileiras de tal forma que as sandálias devam ocupar as extremidades da primeira fila, de quantas formas diferentes podem-se organizar esses calçados nas duas fileiras?
a) 6 !
b) 2 . 6!
c) 4.6 !
d) 6.6 !
e) 8 !
a) 6 !
b) 2 . 6!
c) 4.6 !
d) 6.6 !
e) 8 !
Passo 1
O enunciado pede: contar de quantas formas diferentes podemos organizar
pares de sapato distintos e
pares de sandália distintos em duas fileiras com
pares cada, sob a restrição de que as sandálias ocupem as extremidades da primeira fila. Informações dadas:
- Existem
pares distintos no total: sapatos + sandálias. - As fileiras têm
posições cada (ou seja, posições distintas no total). - A “primeira fila” é distinguível da segunda (o enunciado especifica a primeira fila).
- As sandálias devem ocupar as duas extremidades da primeira fila (ou seja, as posições extremas dessa fila).
Passo 2
Modelagem das posições: numeremos as posições como segue para facilitar:
- Primeira fila: posições
(extremidades são e ). - Segunda fila: posições
.
Cada arranjo válido é uma atribuição de cada par de calçado a uma dasposições distintas. Como todos os pares são distintos, estamos contando permutações (ou seja, colocação ordenada) dos objetos nas posições, sujeitas à restrição sobre as duas posições extremas da primeira fila.
Passo 3
Contagem das maneiras de colocar as sandálias nas extremidades da primeira fila: temos
sandálias distintas e
posições distintas (
e
). O número de maneiras de atribuir
objetos distintos a
posições distintas é
Explicação rápida: para a posição
há
escolhas (qual das duas sandálias), depois sobra
escolha para a posição
; multiplicando
.
Passo 4
Contagem das maneiras de colocar os restantes
sapatos nas
posições livres: após fixar as sandálias nas extremidades da primeira fila, restam exatamente
posições (posições
) e
pares distintos. O número de permutações desses
objetos em
posições é
Lembrete do que é
:
Passo 5
Aplicando o princípio multiplicativo (regra do produto): escolhas independentes em etapas consecutivas se multiplicam. Primeiro posicionamos as sandálias (
maneiras) e depois posicionamos os
sapatos (
maneiras). Logo o total de arranjos válidos é
Opcionalmente, numericamente,
. Isso corresponde à alternativa (b).
Resposta
b)