Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
\int\left(e^{3 x}+a^{2 x}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int\left(e^{3x}+a^{2x}\right)\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A integranda é a soma de duas funções: e^{3x} e a^{2x}.
  • O parâmetro a aparece na segunda parte; para que \ln a exista no contexto usual, devemos supor a>0. Note que o caso especial a=1 merece atenção porque \ln 1=0 e a fórmula padrão muda.

Passo 2

Vamos integrar a primeira parcela \int e^{3x}\,dx passo a passo com substituição.
  1. Fazer a substituição: defina \;u=3x.
  2. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos \;du=3\,dx, ou equivalentemente \;dx=\dfrac{du}{3}.
  3. Substituindo na integral:
\int e^{3x}\,dx=\int e^{u}\cdot\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int e^{u}\,du.
  1. Integral conhecida: \int e^{u}\,du=e^{u}+C. Assim
\frac{1}{3}\int e^{u}\,du=\frac{1}{3}e^{u}+C.
  1. Volta à variável original: u=3x, logo
\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}+C.
Comentário didático: a substituição aqui reproduz ao contrário a regra da derivada da exponencial composta. A derivada de e^{3x} é 3e^{3x}; portanto na integral aparece o fator \tfrac{1}{3}.

Passo 3

Agora a segunda parcela \int a^{2x}\,dx. Primeiro reescrevemos a^{2x} usando a exponencial natural, pois a manipulação é mais direta com e^{(\cdot)}:
a^{2x}=e^{2x\ln a},
pois, em geral, a^t=e^{t\ln a}. Isso exige a>0 para \ln a estar definido como número real.
  1. Faça a substituição \;v=2x\ln a.
  2. Diferenciando: dv=2\ln a\;dx, ou \;dx=\dfrac{dv}{2\ln a}.
  3. Substituição na integral:
\int a^{2x}\,dx=\int e^{2x\ln a}\,dx=\int e^{v}\cdot\frac{dv}{2\ln a}=\frac{1}{2\ln a}\int e^{v}\,dv.
  1. Integrando: \int e^{v}\,dv=e^{v}+C. Assim
\frac{1}{2\ln a}\int e^{v}\,dv=\frac{1}{2\ln a}e^{v}+C.
  1. Volta à variável original: v=2x\ln a. Usando e^{v}=e^{2x\ln a}=a^{2x}, obtemos
\int a^{2x}\,dx=\frac{1}{2\ln a}\,a^{2x}+C,
válido para a>0 e a\neq 1 (pois para a=1 a divisão por \ln a não é válida).
Comentário didático: se a=1 então a^{2x}=1 e \int 1\,dx=x+C; essa é a forma especial que devemos anotar.

Passo 4

Agora somamos as duas parcelas integradas (cada uma com sua constante de integração; combinamos em uma única constante C):
  • Para a>0 e a\neq 1,
\int\left(e^{3x}+a^{2x}\right)\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}+\frac{1}{2\ln a}\,a^{2x}+C.
  • Para o caso especial a=1,
\int\left(e^{3x}+1^{2x}\right)\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}+x+C.

Resposta

\frac{1}{3}e^{3x}+\frac{1}{2\ln a}\,a^{2x}+C\quad(\text{para }a>0,\;a\neq 1)
\frac{1}{3}e^{3x}+x+C\quad(\text{para }a=1)

Exercícios relacionados