Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A integranda é a soma de duas funções:
e . - O parâmetro
aparece na segunda parte; para que exista no contexto usual, devemos supor . Note que o caso especial merece atenção porque e a fórmula padrão muda.
Passo 2
Vamos integrar a primeira parcela
passo a passo com substituição.
- Fazer a substituição: defina
- Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos , ou equivalentemente - Substituindo na integral:
- Integral conhecida:
. Assim
- Volta à variável original:
, logo
Comentário didático: a substituição aqui reproduz ao contrário a regra da derivada da exponencial composta. A derivada de
é
; portanto na integral aparece o fator
.
Passo 3
Agora a segunda parcela
. Primeiro reescrevemos
usando a exponencial natural, pois a manipulação é mais direta com
:
pois, em geral,
. Isso exige
para
estar definido como número real.
- Faça a substituição
- Diferenciando:
, ou - Substituição na integral:
- Integrando:
. Assim
- Volta à variável original:
. Usando , obtemos
válido para
e
(pois para
a divisão por
não é válida).
Comentário didático: se então
e
; essa é a forma especial que devemos anotar.
Comentário didático: se
Passo 4
Agora somamos as duas parcelas integradas (cada uma com sua constante de integração; combinamos em uma única constante
):
- Para
e ,
- Para o caso especial
,