Calcule
, onde A é o retângulo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o retângulo definido por
e
.
Informações dadas:
a função a ser integrada é
(produto de uma função de
por uma função de
).
O que se pede:
Calcular o valor numérico da integral dupla .
Calcular o valor numérico da integral dupla
Passo 2
Observação e ideia de resolução: como
é um retângulo e a função se separa como produto de uma parte que depende só de
e outra que depende só de
,
podemos usar a propriedade de integrais iteradas (Fubini / propriedade de separação) para escrever
Dentro da integral interna
é constante em relação a
, então podemos fatorar
:
Substituindo na integral externa, obtemos a separação em produto de integrais:
Então basta calcular as duas integrais simples e multiplicar.
Passo 3
Calcular
.
Explicação do procedimento: a antiderivada de
é
porque a regra do poder diz que
. Aqui
.
Portanto
Passo 4
Calcular
usando integração por partes.
Relembrando integração por partes: para funções
e
,
Escolhemos
(porque sua derivada simplifica) e
. Então
Aplicando a fórmula:
Agora avaliamos de
a
:
Como
, isso fica
Passo 5
Multiplicar os resultados obtidos nas Passos 3 e 4.
Temos
Fazendo a distribuição: