Calcule
\iint_{A} x \ln y d x d y, onde A é o retângulo 0 \leq x \leq 2 \mathrm{e} 1 \leq y \leq 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{A} x \ln y \, dx\, dy,
onde A é o retângulo definido por 0 \leq x \leq 2 e 1 \leq y \leq 3.
Informações dadas:
A = \{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;1\le y\le 3\},
a função a ser integrada é x\ln y (produto de uma função de x por uma função de y).
O que se pede:
Calcular o valor numérico da integral dupla \iint_{A} x \ln y \, dx\, dy.

Passo 2

Observação e ideia de resolução: como A é um retângulo e a função se separa como produto de uma parte que depende só de x e outra que depende só de y,
x\ln y = f(x)\,g(y)\quad\text{com}\quad f(x)=x,\;g(y)=\ln y,
podemos usar a propriedade de integrais iteradas (Fubini / propriedade de separação) para escrever
\iint_{A} x\ln y \,dx\,dy = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=1}^{3} x\ln y \,dy\right)dx.
Dentro da integral interna x é constante em relação a y, então podemos fatorar x:
\int_{y=1}^{3} x\ln y \,dy = x\int_{y=1}^{3} \ln y \,dy.
Substituindo na integral externa, obtemos a separação em produto de integrais:
\iint_{A} x\ln y \,dx\,dy = \left(\int_{x=0}^{2} x \,dx\right)\left(\int_{y=1}^{3} \ln y \,dy\right).
Então basta calcular as duas integrais simples e multiplicar.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{x=0}^{2} x \,dx.
Explicação do procedimento: a antiderivada de x é \dfrac{x^{2}}{2} porque a regra do poder diz que \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^n. Aqui n=1.
Portanto
\int_{0}^{2} x \,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2} = \dfrac{4}{2} = 2.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{y=1}^{3} \ln y \,dy usando integração por partes.
Relembrando integração por partes: para funções u(y) e v(y),
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=\ln y (porque sua derivada simplifica) e dv=dy. Então
du = \dfrac{1}{y}\,dy,\qquad v = \int dv = \int dy = y.
Aplicando a fórmula:
\int \ln y \,dy = y\ln y - \int y\cdot \dfrac{1}{y}\,dy = y\ln y - \int 1 \,dy = y\ln y - y + C.
Agora avaliamos de 1 a 3:
\int_{1}^{3} \ln y \,dy = \left[y\ln y - y\right]_{1}^{3} = (3\ln 3 - 3) - (1\ln 1 - 1).
Como \ln 1 = 0, isso fica
3\ln 3 - 3 - (0 - 1) = 3\ln 3 - 3 + 1 = 3\ln 3 - 2.

Passo 5

Multiplicar os resultados obtidos nas Passos 3 e 4.
Temos
\iint_{A} x\ln y \,dx\,dy = \left(\int_{0}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{1}^{3} \ln y\,dy\right) = 2\cdot\bigl(3\ln 3 - 2\bigr).
Fazendo a distribuição:
2\cdot(3\ln 3 - 2) = 6\ln 3 - 4.

Resposta

6\ln 3 - 4

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