Calcule \iiint_{Q}\left(x y^{2}+y z^{3}\right) d V se Q=\{(x, y, z):-1 \leq x \leq 1,3 \leq y \leq 4,0 \leq z \leq 2\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{Q}\left(x y^{2}+y z^{3}\right)\,dV
sobre o paralelepípedo
Q=\{(x,y,z)\mid -1\le x\le 1,\;3\le y\le 4,\;0\le z\le 2\}.
Dados importantes fornecidos:
  • Os limites são retangulares (produto de intervalos): x\in[-1,1], y\in[3,4], z\in[0,2].
  • A função a integrar é a soma de duas parcelas: x y^{2} e y z^{3}.
    O que o problema pede: o valor numérico da integral tripla indicada.

Passo 2

Estratégia e justificativa teórica (passo a passo do que vou usar).
  • Linearidade das integrais: a integral da soma é a soma das integrais, portanto
\iiint_{Q}\left(x y^{2}+y z^{3}\right)\,dV = \iiint_{Q} x y^{2}\,dV \;+\; \iiint_{Q} y z^{3}\,dV.
  • Por Fubini (região produto e função integrável), cada integral tripla pode ser calculada como produto de integrais unidimensionais quando a função se separa por variáveis. Aqui cada termo separa-se em fatores que dependem de variáveis distintas, por exemplo
\iiint_{Q} x y^{2}\,dV = \left(\int_{-1}^{1} x\,dx\right) \left(\int_{3}^{4} y^{2}\,dy\right) \left(\int_{0}^{2} dz\right),
e
\iiint_{Q} y z^{3}\,dV = \left(\int_{-1}^{1} dx\right) \left(\int_{3}^{4} y\,dy\right) \left(\int_{0}^{2} z^{3}\,dz\right).
Vou calcular cada fator com calma, explicando as antiderivadas usadas.

Passo 3

Cálculo da primeira contribuição \displaystyle \iiint_{Q} x y^{2}\,dV.
  • Primeiro fator: \displaystyle \int_{-1}^{1} x\,dx. Observação importante: x é uma função ímpar, isto é, x=-(-x). A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero porque as áreas à esquerda e à direita se cancelam. Formalmente, usando a antiderivada:
\int_{-1}^{1} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{-1}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-\frac{(-1)^{2}}{2} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
(Exemplo rápido para fixar: \int_{-2}^{2} x\,dx=0 pelo mesmo motivo.)
  • Segundo fator (apenas por prática, mesmo sabendo que o produto será nulo): \displaystyle \int_{3}^{4} y^{2}\,dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{3}^{4} = \frac{64-27}{3} = \frac{37}{3}.
  • Terceiro fator: \displaystyle \int_{0}^{2} dz = \left.z\right|_{0}^{2} = 2.
Multiplicando os fatores:
\iiint_{Q} x y^{2}\,dV = \left(\int_{-1}^{1} x\,dx\right)\left(\int_{3}^{4} y^{2}\,dy\right)\left(\int_{0}^{2} dz\right) = 0 \cdot \frac{37}{3} \cdot 2 = 0.

Passo 4

Cálculo da segunda contribuição \displaystyle \iiint_{Q} y z^{3}\,dV.
Aqui os fatores são mais simples:
  • Primeiro fator: \displaystyle \int_{-1}^{1} dx = \left.x\right|_{-1}^{1} = 1-(-1)=2.
  • Segundo fator: \displaystyle \int_{3}^{4} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{3}^{4} = \frac{16-9}{2} = \frac{7}{2}.
  • Terceiro fator: \displaystyle \int_{0}^{2} z^{3}\,dz = \left.\frac{z^{4}}{4}\right|_{0}^{2} = \frac{16}{4}=4.
Multiplicando:
\iiint_{Q} y z^{3}\,dV = \left(\int_{-1}^{1} dx\right)\left(\int_{3}^{4} y\,dy\right)\left(\int_{0}^{2} z^{3}\,dz\right) = 2 \cdot \frac{7}{2} \cdot 4.
Calcule passo a passo: 2\cdot\frac{7}{2}=7, e 7\cdot 4 = 28. Portanto esta contribuição vale 28.

Passo 5

Somando as duas contribuições (pela linearidade do integrador):
\iiint_{Q}\left(x y^{2}+y z^{3}\right)\,dV = \underbrace{0}_{\text{primeiro termo}} \;+\; \underbrace{28}_{\text{segundo termo}}.

Resposta

\;28\;

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