Os limites são retangulares (produto de intervalos): x\in[-1,1], y\in[3,4], z\in[0,2].
A função a integrar é a soma de duas parcelas: x y^{2} e y z^{3}.
O que o problema pede: o valor numérico da integral tripla indicada.
Passo 2
Estratégia e justificativa teórica (passo a passo do que vou usar).
Linearidade das integrais: a integral da soma é a soma das integrais, portanto
\iiint_{Q}\left(x y^{2}+y z^{3}\right)\,dV = \iiint_{Q} x y^{2}\,dV \;+\; \iiint_{Q} y z^{3}\,dV.
Por Fubini (região produto e função integrável), cada integral tripla pode ser calculada como produto de integrais unidimensionais quando a função se separa por variáveis. Aqui cada termo separa-se em fatores que dependem de variáveis distintas, por exemplo
\iiint_{Q} x y^{2}\,dV = \left(\int_{-1}^{1} x\,dx\right) \left(\int_{3}^{4} y^{2}\,dy\right) \left(\int_{0}^{2} dz\right),
e
\iiint_{Q} y z^{3}\,dV = \left(\int_{-1}^{1} dx\right) \left(\int_{3}^{4} y\,dy\right) \left(\int_{0}^{2} z^{3}\,dz\right).
Vou calcular cada fator com calma, explicando as antiderivadas usadas.
Passo 3
Cálculo da primeira contribuição \displaystyle \iiint_{Q} x y^{2}\,dV.
Primeiro fator: \displaystyle \int_{-1}^{1} x\,dx. Observação importante: x é uma função ímpar, isto é, x=-(-x). A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero porque as áreas à esquerda e à direita se cancelam. Formalmente, usando a antiderivada:
(Exemplo rápido para fixar: \int_{-2}^{2} x\,dx=0 pelo mesmo motivo.)
Segundo fator (apenas por prática, mesmo sabendo que o produto será nulo): \displaystyle \int_{3}^{4} y^{2}\,dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{3}^{4} = \frac{64-27}{3} = \frac{37}{3}.