Suponha que a proporção do grupo de pacientes com Aids que sobrevive a um tempo t após o diagnóstico de Aids é dada por S(t)=\exp (-k t). Mostre que o tempo de sobrevivência médio T_{aver} após o diagnóstico de Aids para um membro deste grupo é dado por T_{aver} = 1 / k.
Passo 1
O enunciado dá a função de sobrevivência (proporção que ainda vive até o tempo t) como
S(t)=\exp(-k t)
e pede para mostrar que o tempo de sobrevivência médio T_{aver} é
T_{aver}=\frac{1}{k}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A função de sobrevivência é S(t)=\mathrm{e}^{-k t}.
Implicitamente, t\ge 0 e \,k>0 (caso contrário a interpretação probabilística não faz sentido).
O objetivo é calcular a esperança (valor médio) da variável tempo de sobrevivência associada a S(t).
Passo 2
Relação entre função de sobrevivência S(t), função de distribuição acumulada F(t) e densidade f(t).
Explanação didática:
Para uma variável aleatória contínua não-negativa T, a função de sobrevivência é S(t)=\mathbb{P}(T>t).
A função de distribuição acumulada é F(t)=\mathbb{P}(T\le t)=1-S(t).
A densidade f(t) (quando existe) é a derivada de F, ou seja
f(t)=F'(t)=-S'(t).
Isto decorre porque F(t)=1-S(t), então F'(t)=-S'(t). Essa relação é básica: a densidade descreve a razão de variação da probabilidade acumulada, e a sobrevivência decresce com t.
Passo 3
Obter a densidade f(t) a partir de S(t)=\mathrm{e}^{-k t}.
Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{\infty} t\,k\,\mathrm{e}^{-k t}\,dt por integração por partes.
Passos da integração por partes (método):
Tome u=t e dv=k\,\mathrm{e}^{-k t}\,dt.
Então du=dt e uma primitiva de dv é v=-\mathrm{e}^{-k t}, pois \dfrac{d}{dt}(-\mathrm{e}^{-k t})=k\,\mathrm{e}^{-k t}.
Aplicando a fórmula da integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du,
Tratar o termo de fronteira e calcular a integral restante.
Avaliação do termo de fronteira: \displaystyle \lim_{t\to\infty} t\,\mathrm{e}^{-k t}=0.
Justificativa rápida (L’Hôpital ou observação exponencial): escrevendo t\,\mathrm{e}^{-k t}=\dfrac{t}{\mathrm{e}^{k t}}, aplica-se L’Hôpital:\lim_{t\to\infty}\frac{t}{\mathrm{e}^{k t}}=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{k\,\mathrm{e}^{k t}}=0.No t=0 temos -t\mathrm{e}^{-k t}\big|_{t=0}=0. Portanto o termo de fronteira \Bigl[-t\,\mathrm{e}^{-k t}\Bigr]_{0}^{\infty}=0-0=0.
A integral restante:\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-k t}\,dt = \Bigl[-\frac{1}{k}\,\mathrm{e}^{-k t}\Bigr]_{0}^{\infty} = 0 -\Bigl(-\frac{1}{k}\Bigr)=\frac{1}{k}.
Conclusão do cálculo:
\mathbb{E}[T]=\frac{1}{k}.
Passo 7
Apresentar também a forma alternativa curta (identidade útil) e interpretação.
Identidade geral: para variável não-negativa T com função de sobrevivência S(t), vale a fórmula
\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty} S(t)\,dt.
Essa identidade pode ser obtida integrando por partes a expressão \int_{0}^{\infty} t\,f(t)\,dt usando f=-S'.