Suponha que a proporção do grupo de pacientes com Aids que sobrevive a um tempo t após o diagnóstico de Aids é dada por S(t)=\exp (-k t). Mostre que o tempo de sobrevivência médio T_{aver} após o diagnóstico de Aids para um membro deste grupo é dado por T_{aver} = 1 / k.

Passo 1

O enunciado dá a função de sobrevivência (proporção que ainda vive até o tempo t) como
S(t)=\exp(-k t)
e pede para mostrar que o tempo de sobrevivência médio T_{aver} é
T_{aver}=\frac{1}{k}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função de sobrevivência é S(t)=\mathrm{e}^{-k t}.
  • Implicitamente, t\ge 0 e \,k>0 (caso contrário a interpretação probabilística não faz sentido).
    O objetivo é calcular a esperança (valor médio) da variável tempo de sobrevivência associada a S(t).

Passo 2

Relação entre função de sobrevivência S(t), função de distribuição acumulada F(t) e densidade f(t).
Explanação didática:
  • Para uma variável aleatória contínua não-negativa T, a função de sobrevivência é S(t)=\mathbb{P}(T>t).
  • A função de distribuição acumulada é F(t)=\mathbb{P}(T\le t)=1-S(t).
  • A densidade f(t) (quando existe) é a derivada de F, ou seja
f(t)=F'(t)=-S'(t).
Isto decorre porque F(t)=1-S(t), então F'(t)=-S'(t). Essa relação é básica: a densidade descreve a razão de variação da probabilidade acumulada, e a sobrevivência decresce com t.

Passo 3

Obter a densidade f(t) a partir de S(t)=\mathrm{e}^{-k t}.
Cálculo passo a passo:
  • Diferenciando S(t) em relação a t,
S'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\mathrm{e}^{-k t}\bigr)=-k\,\mathrm{e}^{-k t}.
  • Usando f(t)=-S'(t), obtemos
f(t)=k\,\mathrm{e}^{-k t},\qquad t\ge 0.
Comentário: essa é a densidade da conhecida distribuição exponencial com parâmetro k. Verificação rápida de que é uma densidade válida:
\int_{0}^{\infty} f(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} k\,\mathrm{e}^{-k t}\,dt = \Bigl[-\mathrm{e}^{-k t}\Bigr]_{0}^{\infty}=1,
porque \lim_{t\to\infty}\mathrm{e}^{-k t}=0 e \mathrm{e}^{0}=1.

Passo 4

Definir a esperança (tempo médio) e montar a integral a ser calculada.
Explicação didática:
  • Para uma variável aleatória contínua T com densidade f(t), a esperança (valor médio) é
\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty} t\,f(t)\,dt.
  • Substituindo f(t)=k\,\mathrm{e}^{-k t}, obtemos a integral
\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty} t\,k\,\mathrm{e}^{-k t}\,dt.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{\infty} t\,k\,\mathrm{e}^{-k t}\,dt por integração por partes.
Passos da integração por partes (método):
  • Tome u=t e dv=k\,\mathrm{e}^{-k t}\,dt.
  • Então du=dt e uma primitiva de dv é v=-\mathrm{e}^{-k t}, pois \dfrac{d}{dt}(-\mathrm{e}^{-k t})=k\,\mathrm{e}^{-k t}.
    Aplicando a fórmula da integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du,
\int_{0}^{\infty} t\,k\,\mathrm{e}^{-k t}\,dt = \Bigl[-t\,\mathrm{e}^{-k t}\Bigr]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-k t}\,dt.
Agora avaliaremos os termos separadamente.

Passo 6

Tratar o termo de fronteira e calcular a integral restante.
  • Avaliação do termo de fronteira: \displaystyle \lim_{t\to\infty} t\,\mathrm{e}^{-k t}=0.
    Justificativa rápida (L’Hôpital ou observação exponencial): escrevendo t\,\mathrm{e}^{-k t}=\dfrac{t}{\mathrm{e}^{k t}}, aplica-se L’Hôpital: \lim_{t\to\infty}\frac{t}{\mathrm{e}^{k t}}=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{k\,\mathrm{e}^{k t}}=0.No t=0 temos -t\mathrm{e}^{-k t}\big|_{t=0}=0. Portanto o termo de fronteira \Bigl[-t\,\mathrm{e}^{-k t}\Bigr]_{0}^{\infty}=0-0=0.
  • A integral restante: \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-k t}\,dt = \Bigl[-\frac{1}{k}\,\mathrm{e}^{-k t}\Bigr]_{0}^{\infty} = 0 -\Bigl(-\frac{1}{k}\Bigr)=\frac{1}{k}.
Conclusão do cálculo:
\mathbb{E}[T]=\frac{1}{k}.

Passo 7

Apresentar também a forma alternativa curta (identidade útil) e interpretação.
  • Identidade geral: para variável não-negativa T com função de sobrevivência S(t), vale a fórmula
\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty} S(t)\,dt.
Essa identidade pode ser obtida integrando por partes a expressão \int_{0}^{\infty} t\,f(t)\,dt usando f=-S'.
  • Aplicando-a diretamente a S(t)=\mathrm{e}^{-k t},
\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-k t}\,dt=\frac{1}{k},
o mesmo resultado. Interpretação intuitiva: a média é a área sob a curva de sobrevivência.

Resposta

T_{aver}=\dfrac{1}{k}

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