Um pesquisador deseja estudar a relação entre o número de horas semanais de estudo ( X ) e a nota obtida em uma prova (Y) por um grupo de estudantes. Admita que a nota média seja linearmente relacionada ao tempo de estudo.
Para uma amostra de 12 estudantes, foram obtidos os seguintes somatórios:
Pede-se:
(a) Determine a equação da reta de regressão linear simples ajustada.
(b) Calcule o coeficiente de correlação linear.
(c) Interprete o coeficiente angular no contexto do problema.
(d) Calcule o coeficiente de determinação e interprete-o.
Pede-se:
(a) Determine a equação da reta de regressão linear simples ajustada.
(b) Calcule o coeficiente de correlação linear.
(c) Interprete o coeficiente angular no contexto do problema.
(d) Calcule o coeficiente de determinação e interprete-o.
Passo 1
O enunciado fornece os dados da amostra e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
Perguntas que o enunciado faz:
(a) Determinar a equação da reta de regressão linear simples ajustada (ou seja, estimadores dos parâmetros da forma ).
(b) Calcular o coeficiente de correlação linear .
(c) Interpretar o coeficiente angular no contexto (horas de estudo versus nota).
(d) Calcular o coeficiente de determinação e interpretar.
(a) Determinar a equação da reta de regressão linear simples ajustada (ou seja, estimadores dos parâmetros da forma
(b) Calcular o coeficiente de correlação linear
(c) Interpretar o coeficiente angular
(d) Calcular o coeficiente de determinação
Passo 2
Primeiro calculamos as médias amostrais, que serão úteis nas fórmulas. Lembre-se: a média de
é
e a média de
é
.
Interpretação rápida: a média de horas estudadas por semana é
horas; a média das notas é
pontos.
Passo 3
Agora calculamos o coeficiente angular
da reta de regressão. Fórmula (explicando cada termo):
-
é o tamanho da amostra. -
é a soma dos produtos. -
e são as somas simples. -
é a soma dos quadrados de .
A fórmula de
é
Substituindo os números:
Portanto
Explicação didática: esse coeficiente mede quantos pontos na nota, em média, mudam quando aumentamos uma unidade em
(ou seja, uma hora de estudo a mais por semana), mantendo a relação linear estimada.
Passo 4
Calculamos o coeficiente linear (intercepto)
. Fórmula:
Substituindo:
Calculemos a parte
. Então
Interpretação didática:
é o valor estimado de
quando
(nota prevista para alguém que não estuda), mas atenção: interpretar intercepto fora da faixa dos dados exige cautela.
Passo 5
Escrevemos a equação da reta de regressão ajustada (resultado do item (a)). Usando os valores obtidos:
Isso responde (a). Na prática: para cada hora a mais de estudo por semana, a nota média prevista aumenta em cerca de
pontos.
Passo 6
Agora calculamos o coeficiente de correlação linear
. Fórmula (explicando):
Já temos o numerador (mesmo do
multiplicado por 1):
.
Calculamos a parte de
:
Portanto o denominador é
Calculando
:
Podemos simplificar a razão ao quadrado para obter uma forma exata:
Como a inclinação
é positiva,
também é positivo:
Interpretação didática curta:
indica uma correlação linear positiva forte entre horas de estudo e nota.
Passo 7
Interpretação do coeficiente angular (item (c)), detalhada e amigável:
- A estimativa
significa que, segundo o modelo linear ajustado, para cada hora adicional de estudo por semana espera-se, em média, um aumento de cerca de pontos na nota da prova. - Observação prática: isso é uma média condicional (esperança de
dado ), e vale dentro do intervalo de dados observados. Extrapolar muito além das horas observadas é arriscado.
Passo 8
Coeficiente de determinação
(item (d)):
- Definição:
. Mede a fração da variabilidade total de explicada pela regressão linear em . - Aqui já calculamos
.
Interpretação: aproximadamente
da variabilidade das notas
na amostra é explicada pela variação nas horas de estudo
segundo o modelo linear. O restante (
) é variabilidade não explicada pelo modelo (erros, outros fatores, ruído).
Resposta
(a)
(b)
(c) O coeficiente angular é . Interpretação: em média, cada hora adicional de estudo por semana está associada a um aumento de cerca de
pontos na nota.
(d) (ou
), ou seja, cerca de
da variabilidade das notas é explicada pela variável horas de estudo.
(b)
(c) O coeficiente angular é
(d)