Um pesquisador deseja estudar a relação entre o número de horas semanais de estudo ( X ) e a nota obtida em uma prova (Y) por um grupo de estudantes. Admita que a nota média seja linearmente relacionada ao tempo de estudo.
Para uma amostra de 12 estudantes, foram obtidos os seguintes somatórios:
n=12, \quad \sum X_{i}=78, \quad \sum X_{i}^{2}=650, \quad \sum Y_{i}=840, \quad \sum Y_{i}^{2}=62000, \quad \sum X_{i} Y_{i}=6100
Pede-se:
(a) Determine a equação da reta de regressão linear simples ajustada.
(b) Calcule o coeficiente de correlação linear.
(c) Interprete o coeficiente angular no contexto do problema.
(d) Calcule o coeficiente de determinação e interprete-o.

Passo 1

O enunciado fornece os dados da amostra e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
  • n=12
  • \sum X_{i}=78
  • \sum X_{i}^{2}=650
  • \sum Y_{i}=840
  • \sum Y_{i}^{2}=62000
  • \sum X_{i}Y_{i}=6100
Perguntas que o enunciado faz:
(a) Determinar a equação da reta de regressão linear simples ajustada (ou seja, estimadores dos parâmetros da forma \hat{Y}= \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X).
(b) Calcular o coeficiente de correlação linear r.
(c) Interpretar o coeficiente angular \hat{\beta}_1 no contexto (horas de estudo versus nota).
(d) Calcular o coeficiente de determinação R^{2} e interpretar.

Passo 2

Primeiro calculamos as médias amostrais, que serão úteis nas fórmulas. Lembre-se: a média de X é \bar{X}=\dfrac{\sum X_i}{n} e a média de Y é \bar{Y}=\dfrac{\sum Y_i}{n}.
\bar{X}=\dfrac{\sum X_i}{n}=\dfrac{78}{12}=6{,}5.
\bar{Y}=\dfrac{\sum Y_i}{n}=\dfrac{840}{12}=70.
Interpretação rápida: a média de horas estudadas por semana é \bar{X}=6{,}5 horas; a média das notas é \bar{Y}=70 pontos.

Passo 3

Agora calculamos o coeficiente angular \hat{\beta}_1 da reta de regressão. Fórmula (explicando cada termo):
  • n é o tamanho da amostra.
  • \sum X_iY_i é a soma dos produtos.
  • \sum X_i e \sum Y_i são as somas simples.
  • \sum X_i^2 é a soma dos quadrados de X.
A fórmula de \hat{\beta}_1 é
\hat{\beta}_1=\dfrac{n\sum X_iY_i - (\sum X_i)(\sum Y_i)}{n\sum X_i^{2} - (\sum X_i)^{2}}.
Substituindo os números:
\text{numerador}=12\cdot6100 - 78\cdot840 = 73200 - 65520 = 7680.
\text{denominador}=12\cdot650 - 78^{2} = 7800 - 6084 = 1716.
Portanto
\hat{\beta}_1=\dfrac{7680}{1716}=\dfrac{640}{143}\approx 4{,}4755.
Explicação didática: esse coeficiente mede quantos pontos na nota, em média, mudam quando aumentamos uma unidade em X (ou seja, uma hora de estudo a mais por semana), mantendo a relação linear estimada.

Passo 4

Calculamos o coeficiente linear (intercepto) \hat{\beta}_0. Fórmula:
\hat{\beta}_0=\bar{Y}-\hat{\beta}_1\,\bar{X}.
Substituindo:
\hat{\beta}_0=70 - \dfrac{640}{143}\cdot 6{,}5.
Calculemos a parte \dfrac{640}{143}\cdot 6{,}5=\dfrac{640\cdot 6{,}5}{143}=\dfrac{4160}{143}. Então
\hat{\beta}_0=70-\dfrac{4160}{143}=\dfrac{70\cdot143-4160}{143}=\dfrac{5850}{143}\approx 40{,}9091.
Interpretação didática: \hat{\beta}_0 é o valor estimado de Y quando X=0 (nota prevista para alguém que não estuda), mas atenção: interpretar intercepto fora da faixa dos dados exige cautela.

Passo 5

Escrevemos a equação da reta de regressão ajustada (resultado do item (a)). Usando os valores obtidos:
\hat{Y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 X = \dfrac{5850}{143} + \dfrac{640}{143}\,X \approx 40{,}9091 + 4{,}4755\,X.
Isso responde (a). Na prática: para cada hora a mais de estudo por semana, a nota média prevista aumenta em cerca de 4{,}48 pontos.

Passo 6

Agora calculamos o coeficiente de correlação linear r. Fórmula (explicando):
r=\dfrac{n\sum X_iY_i - (\sum X_i)(\sum Y_i)}{\sqrt{\big(n\sum X_i^{2} - (\sum X_i)^{2}\big)\big(n\sum Y_i^{2} - (\sum Y_i)^{2}\big)}}.
Já temos o numerador (mesmo do \hat{\beta}_1 multiplicado por 1): 7680.
Calculamos a parte de Y:
n\sum Y_i^{2} - (\sum Y_i)^{2}=12\cdot62000 - 840^{2}=744000 - 705600 =38400.
Portanto o denominador é
\sqrt{1716\cdot 38400}=\sqrt{65\,894\,400}.
Calculando r:
r=\dfrac{7680}{\sqrt{65\,894\,400}}.
Podemos simplificar a razão ao quadrado para obter uma forma exata:
r^{2}=\dfrac{7680^{2}}{1716\cdot38400}=\dfrac{58\,982\,400}{65\,894\,400}=\dfrac{128}{143}\approx 0{,}8951.
Como a inclinação \hat{\beta}_1 é positiva, r também é positivo:
r=+\sqrt{\dfrac{128}{143}}\approx 0{,}9466.
Interpretação didática curta: r\approx 0{,}9466 indica uma correlação linear positiva forte entre horas de estudo e nota.

Passo 7

Interpretação do coeficiente angular (item (c)), detalhada e amigável:
  • A estimativa \hat{\beta}_1=\dfrac{640}{143}\approx 4{,}4755 significa que, segundo o modelo linear ajustado, para cada hora adicional de estudo por semana espera-se, em média, um aumento de cerca de 4{,}48 pontos na nota da prova.
  • Observação prática: isso é uma média condicional (esperança de Y dado X), e vale dentro do intervalo de dados observados. Extrapolar muito além das horas observadas é arriscado.

Passo 8

Coeficiente de determinação R^{2} (item (d)):
  • Definição: R^{2}=r^{2}. Mede a fração da variabilidade total de Y explicada pela regressão linear em X.
  • Aqui já calculamos r^{2}=\dfrac{128}{143}\approx 0{,}8951.
Interpretação: aproximadamente 89{,}51\% da variabilidade das notas Y na amostra é explicada pela variação nas horas de estudo X segundo o modelo linear. O restante ( \approx 10{,}49\%) é variabilidade não explicada pelo modelo (erros, outros fatores, ruído).

Resposta

(a) \displaystyle \hat{Y}=\dfrac{5850}{143}+\dfrac{640}{143}\,X\approx 40{,}9091+4{,}4755\,X
(b) \displaystyle r=+\sqrt{\dfrac{128}{143}}\approx 0{,}9466
(c) O coeficiente angular é \displaystyle \hat{\beta}_1=\dfrac{640}{143}\approx 4{,}4755. Interpretação: em média, cada hora adicional de estudo por semana está associada a um aumento de cerca de 4{,}48 pontos na nota.
(d) \displaystyle R^{2}=r^{2}=\dfrac{128}{143}\approx 0{,}8951 (ou 89{,}51\%), ou seja, cerca de 89{,}51\% da variabilidade das notas é explicada pela variável horas de estudo.

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