Quais das seguintes desigualdades podem ou não ser usadas para mostrar que a série \sum_{n} \frac{n}{n^{3}+1} é convergente? Não esqueça de justificar.
\frac{n}{n^{3}+1} \leq \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado pergunta se a desigualdade
\frac{n}{n^{3}+1} \leq \frac{1}{n}
pode ser usada para mostrar que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+1} é convergente. Informações dadas e relevantes:
  • A sequência de termos é a_{n}=\dfrac{n}{n^{3}+1}, com n natural (vamos considerar n\ge1).
  • A desigualdade proposta é \dfrac{n}{n^{3}+1}\le\dfrac{1}{n}.
  • Precisamos decidir se essa desigualdade, usada com um teste de comparação, permite concluir convergência da série.

Passo 2

Primeiro vamos checar se a desigualdade é verdadeira para n\ge1. Partimos de
\frac{n}{n^{3}+1} \leq \frac{1}{n}.
Como todos os denominadores são positivos para n\ge1, podemos multiplicar cruzado sem mudar o sentido:
\frac{n}{n^{3}+1} \leq \frac{1}{n} \quad\Longleftrightarrow\quad n^{2} \le n^{3}+1.
Rearranjando,
0 \le n^{3}-n^{2}+1 = n^{2}(n-1)+1.
Para n\ge1 temos n^{2}(n-1)\ge0, então a soma com 1 é positiva. Logo a desigualdade é verdadeira para todo n\ge1.

Passo 3

Agora analisamos se essa desigualdade pode ser usada para provar que \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{n^{3}+1} converge, usando o critério da comparação direta. O critério da comparação direta diz:
  • Se 0\le a_n \le b_n para todo n a partir de algum ponto e \sum b_n converge, então \sum a_n converge.
  • Se \sum b_n diverge, a desigualdade não permite concluir convergência de \sum a_n.
No nosso caso a_n=\dfrac{n}{n^{3}+1} e b_n=\dfrac{1}{n}. A série comparadora é a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é conhecida por divergir. Portanto, embora a desigualdade a_n\le b_n seja verdadeira, ela não nos ajuda: comparar com uma série divergente não prova convergência. Conclusão: a desigualdade proposta NÃO é útil para mostrar convergência por comparação direta.

Passo 4

Vamos explicar também pelo critério da comparação por limite (limit comparison), para entender melhor. Calculemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{n^{3}+1}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+1} =0.
No teste de comparação por limite, se esse limite for um número finito e estritamente positivo então as duas séries têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Aqui o limite é 0. Esse caso dá duas possibilidades: se \sum b_n converge então \sum a_n converge; se \sum b_n diverge (como é o caso da harmônica) o resultado é inconclusivo. Portanto esse cálculo reforça que a comparação com \dfrac{1}{n} não resolve o problema.

Passo 5

Procuramos então uma comparação útil. Note que para n\ge1 temos n^{3}+1 \ge n^{3}. Assim
\frac{n}{n^{3}+1} \le \frac{n}{n^{3}} = \frac{1}{n^{2}}.
A desigualdade \dfrac{n}{n^{3}+1}\le\dfrac{1}{n^{2}} é verdadeira e agora é útil porque a série comparadora
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é uma série p com p=2>1, portanto converge (fato clássico das séries p). Pelo critério da comparação direta, como 0\le a_n\le 1/n^{2} a partir de n=1, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{3}+1}
converge.

Passo 6

Para reforçar com o critério por limite: calculemos a razão entre a_n e 1/n^{2}:
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{n^{3}+1}}{\frac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}+1}=1.
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento; já que \sum 1/n^{2} converge, conclui-se novamente que \sum \dfrac{n}{n^{3}+1} converge.

Resposta

A desigualdade \dfrac{n}{n^{3}+1}\le\dfrac{1}{n} é verdadeira para n\ge1, mas NÃO pode ser usada para provar convergência (pois \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge).
A desigualdade \dfrac{n}{n^{3}+1}\le\dfrac{1}{n^{2}} é verdadeira e PODE ser usada; como \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge, segue que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^{3}+1} converge.

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