Quais das seguintes desigualdades podem ou não ser usadas para mostrar que a série
é convergente? Não esqueça de justificar.
Passo 1
O enunciado pergunta se a desigualdade
pode ser usada para mostrar que a série
é convergente. Informações dadas e relevantes:
- A sequência de termos é
, com natural (vamos considerar ). - A desigualdade proposta é
. - Precisamos decidir se essa desigualdade, usada com um teste de comparação, permite concluir convergência da série.
Passo 2
Primeiro vamos checar se a desigualdade é verdadeira para
. Partimos de
Como todos os denominadores são positivos para
, podemos multiplicar cruzado sem mudar o sentido:
Rearranjando,
Para
temos
, então a soma com
é positiva. Logo a desigualdade é verdadeira para todo
.
Passo 3
Agora analisamos se essa desigualdade pode ser usada para provar que
converge, usando o critério da comparação direta. O critério da comparação direta diz:
- Se
para todo a partir de algum ponto e converge, então converge. - Se
diverge, a desigualdade não permite concluir convergência de .
No nosso caso
e
. A série comparadora é a série harmônica
que é conhecida por divergir. Portanto, embora a desigualdade
seja verdadeira, ela não nos ajuda: comparar com uma série divergente não prova convergência. Conclusão: a desigualdade proposta NÃO é útil para mostrar convergência por comparação direta.
Passo 4
Vamos explicar também pelo critério da comparação por limite (limit comparison), para entender melhor. Calculemos
No teste de comparação por limite, se esse limite for um número finito e estritamente positivo então as duas séries têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Aqui o limite é
. Esse caso dá duas possibilidades: se
converge então
converge; se
diverge (como é o caso da harmônica) o resultado é inconclusivo. Portanto esse cálculo reforça que a comparação com
não resolve o problema.
Passo 5
Procuramos então uma comparação útil. Note que para
temos
. Assim
A desigualdade
é verdadeira e agora é útil porque a série comparadora
é uma série p com
, portanto converge (fato clássico das séries p). Pelo critério da comparação direta, como
a partir de
, concluímos que
converge.
Passo 6
Para reforçar com o critério por limite: calculemos a razão entre
e
:
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento; já que
converge, conclui-se novamente que
converge.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para
, mas NÃO pode ser usada para provar convergência (pois
diverge).
A desigualdade é verdadeira e PODE ser usada; como
converge, segue que
converge.
A desigualdade