onde \Omega é a região limitada pelos planos x=-1, x=1, y+z=-1, y+z=1,-y+z=-1 e -y+z=1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{\Omega} e^{x+y+z}\,dV
onde a região \Omega é limitada pelos planos
x=-1,\quad x=1,
y+z=-1,\quad y+z=1,
-y+z=-1,\quad -y+z=1.
Vou listar claramente o que está dado e o que se pede:
Pergunta: calcular o valor numérico da integral \iiint_{\Omega} e^{x+y+z}\,dV.
Informações sobre \Omega:
Em x, a região é o intervalo \,x\in[-1,1]\, (pegado dos planos x=-1 e x=1).
Em (y,z), a região é limitada pelas retas (planos no espaço) y+z=\pm1 e -y+z=\pm1.
Passo 2
Observação estratégica (motivo da mudança de variáveis): as equações que limitam em (y,z) envolvem as combinações lineares y+z e -y+z. Isso sugere trocar as variáveis (y,z) por
u = y+z,\qquad v = -y+z.
Por que isso ajuda? Porque as superfícies de contorno passam a ser simplesmente u=\pm1 e v=\pm1, ou seja, um retângulo simples no plano (u,v).
Agora expresso y e z em função de u e v. Somando e subtraindo as definições:
(Explicação rápida sobre jacobiano: se (u,v)=T(y,z), então du\,dv = |\det(\partial(u,v)/\partial(y,z))|\,dy\,dz. Invertendo, dy\,dz = |\det(\partial(y,z)/\partial(u,v))|\,du\,dv. Aqui o determinante inverso é 1/2.)]
Passo 4
Reescrever a integral na nova variável. Note que y+z=u, então o integrando fica mais simples:
e^{x+y+z} = e^{x+u}.
O elemento de volume é dV = dx\,dy\,dz = dx\cdot\frac{1}{2}du\,dv. Os limites: