Calcule
\iiint_{\Omega} e^{x+y+z} d V
onde \Omega é a região limitada pelos planos x=-1, x=1, y+z=-1, y+z=1,-y+z=-1 e -y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{\Omega} e^{x+y+z}\,dV
onde a região \Omega é limitada pelos planos
x=-1,\quad x=1,
y+z=-1,\quad y+z=1,
-y+z=-1,\quad -y+z=1.
Vou listar claramente o que está dado e o que se pede:
  • Pergunta: calcular o valor numérico da integral \iiint_{\Omega} e^{x+y+z}\,dV.
  • Informações sobre \Omega:
    • Em x, a região é o intervalo \,x\in[-1,1]\, (pegado dos planos x=-1 e x=1).
    • Em (y,z), a região é limitada pelas retas (planos no espaço) y+z=\pm1 e -y+z=\pm1.

Passo 2

Observação estratégica (motivo da mudança de variáveis): as equações que limitam em (y,z) envolvem as combinações lineares y+z e -y+z. Isso sugere trocar as variáveis (y,z) por
u = y+z,\qquad v = -y+z.
Por que isso ajuda? Porque as superfícies de contorno passam a ser simplesmente u=\pm1 e v=\pm1, ou seja, um retângulo simples no plano (u,v).
Agora expresso y e z em função de u e v. Somando e subtraindo as definições:
u+v = (y+z)+(-y+z)=2z \quad\Rightarrow\quad z=\frac{u+v}{2},
u-v = (y+z)-(-y+z)=2y \quad\Rightarrow\quad y=\frac{u-v}{2}.

Passo 3

Calcular o jacobiano da mudança (y,z)\mapsto(u,v) para saber como dy\,dz se transforma. A transformação linear é
(u,v) = T(y,z) = (y+z,\,-y+z).
A matriz de derivadas \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(y,z)} é
\begin{pmatrix} \partial u/\partial y & \partial u/\partial z\\[4pt] \partial v/\partial y & \partial v/\partial z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] -1 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante é
\det\frac{\partial(u,v)}{\partial(y,z)} = 1\cdot 1 - 1\cdot(-1) = 2.
Portanto
dy\,dz = \left|\det\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\right| du\,dv = \frac{1}{2}\,du\,dv.
(Explicação rápida sobre jacobiano: se (u,v)=T(y,z), então du\,dv = |\det(\partial(u,v)/\partial(y,z))|\,dy\,dz. Invertendo, dy\,dz = |\det(\partial(y,z)/\partial(u,v))|\,du\,dv. Aqui o determinante inverso é 1/2.)]

Passo 4

Reescrever a integral na nova variável. Note que y+z=u, então o integrando fica mais simples:
e^{x+y+z} = e^{x+u}.
O elemento de volume é dV = dx\,dy\,dz = dx\cdot\frac{1}{2}du\,dv. Os limites:
x\in[-1,1],\qquad u\in[-1,1]\\ (\text{pois }y+z=\pm1),\qquad v\in[-1,1]\\ (\text{pois }-y+z=\pm1).
Assim a integral vira
\iiint_{\Omega} e^{x+y+z}\,dV = \int_{x=-1}^{1}\int_{u=-1}^{1}\int_{v=-1}^{1} e^{x+u}\cdot\frac{1}{2}\,dv\,du\,dx.

Passo 5

Integrar em v primeiro: o integrando não depende de v, então
\int_{v=-1}^{1}\frac{1}{2} e^{x+u}\,dv = \frac{1}{2} e^{x+u}\cdot\bigl[v\bigr]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} e^{x+u}\cdot(1-(-1)) = \frac{1}{2} e^{x+u}\cdot 2 = e^{x+u}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{x=-1}^{1}\int_{u=-1}^{1} e^{x+u}\,du\,dx.
Como e^{x+u}=e^x e^u, a integral é produto de integrais separadas:
\left(\int_{x=-1}^{1} e^x\,dx\right)\left(\int_{u=-1}^{1} e^u\,du\right).

Passo 6

Calcular cada integral simples:
\int_{-1}^{1} e^x\,dx = \bigl[e^x\bigr]_{-1}^{1} = e^{1}-e^{-1} = e - e^{-1}.
Logo o produto é
\left(e - e^{-1}\right)\left(e - e^{-1}\right) = \left(e - e^{-1}\right)^2.

Resposta

\left(e - e^{-1}\right)^2

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