Escolha uma mudança de coordenadas adequada e calcule o volume do sólido S dado
S é a intersecção da bola x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \leq 1 com o cone x^{2}+y^{2} \leq z^{2}, z \geq 0;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O sólido S é a interseção entre duas regiões:
    • A bola (esfera sólida) de centro (0,0,1) e raio 1, dada por x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\leq 1.
    • O cone reto de vértice na origem, abertura de 45^\circ e parte superior, dado por x^{2}+y^{2}\leq z^{2},\qquad z\geq 0.
  • O que se pede: escolher uma mudança de coordenadas adequada e calcular o volume do sólido S.

Passo 2

Escolha da mudança de coordenadas e por que ela é adequada.
  • Observação rápida: o cone tem simetria arredondada em torno do eixo z e ângulo fixo entre geratrizes e o eixo z. Isso sugere usar coordenadas esféricas centradas na origem (0,0,0).
  • Recordando as coordenadas esféricas (convencionais):
    • r é a distância do ponto à origem.
    • \varphi é o ângulo polar (ângulo entre o raio e o eixo z, 0\leq \varphi\leq \pi).
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy ( 0\leq \theta<2\pi).
  • As fórmulas de conversão e o elemento de volume são: x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi,
dV = r^{2}\sin\varphi\;dr\,d\varphi\,d\theta.
  • Esta mudança é boa porque:
    • O cone fica simplesmente em termos de \varphi (um limite angular fixo).
    • A esfera (centrada em (0,0,1)) se transforma numa superfície radial r = f(\varphi) simples (ver próximo passo).

Passo 3

Expressar a superfície da esfera em coordenadas esféricas.
  • Escrevemos a equação da esfera em termos de r e \varphi. A esfera limite é x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1.
  • Em esféricas, x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} e z=r\cos\varphi. Substituindo: r^{2}-2z+1 = 1 \quad\Rightarrow\quad r^{2}-2r\cos\varphi=0.
  • Isso fatoriza como r(r-2\cos\varphi)=0. A solução não-trivial para a superfície é r = 2\cos\varphi.
  • Conclusão: a esfera corresponde à superfície radial r=2\cos\varphi (válida para os \varphi onde \cos\varphi\ge 0, isto é \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]).

Passo 4

Expressar a condição do cone em termos de \varphi.
  • A condição do cone é x^{2}+y^{2}\le z^{2}. Em esféricas isso vira r^{2}\sin^{2}\varphi \le r^{2}\cos^{2}\varphi \quad\Rightarrow\quad \tan^{2}\varphi \le 1.
  • Assim \varphi satisfaz 0\le \varphi \le \tfrac{\pi}{4} (lembre que z\ge 0 corresponde a \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}], e o cone reduz isso a [0,\tfrac{\pi}{4}]).
  • O ângulo azimutal \theta varre toda a volta: 0\le\theta\le 2\pi.
  • Para r, o interior do sólido fica entre a origem e a superfície da esfera, ou seja 0\le r\le 2\cos\varphi (para os \varphi considerados).

Passo 5

Montar a integral triple para o volume em coordenadas esféricas.
  • Usando os limites identificados: 0\le \theta \le 2\pi,\qquad 0\le \varphi \le \tfrac{\pi}{4},\qquad 0\le r \le 2\cos\varphi.
  • O volume V é V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{r=0}^{2\cos\varphi} r^{2}\sin\varphi\;dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Fazer a integral em r.
  • Primeiro integramos em r: \int_{0}^{2\cos\varphi} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2\cos\varphi} = \frac{(2\cos\varphi)^{3}}{3} = \frac{8\cos^{3}\varphi}{3}.
  • Substituindo na integral do volume: V = \int_{0}^{2\pi} \! d\theta \;\int_{0}^{\pi/4} \frac{8\cos^{3}\varphi}{3}\,\sin\varphi\;d\varphi.
  • Podemos fatorar a constante em \theta-integração: V = 2\pi \cdot \frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/4}\cos^{3}\varphi\,\sin\varphi\;d\varphi.

Passo 7

Calcular a integral em \varphi por substituição.
  • Use a substituição u=\cos\varphi. Então du = -\sin\varphi\,d\varphi, isto é \sin\varphi\,d\varphi = -du.
  • Limites: quando \varphi=0 temos u=\cos 0 = 1; quando \varphi=\tfrac{\pi}{4} temos u=\cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2} = 2^{-1/2}.
  • A integral torna-se \int_{0}^{\pi/4}\cos^{3}\varphi\,\sin\varphi\;d\varphi = \int_{u=1}^{u=2^{-1/2}} u^{3}(-du) = \int_{u=2^{-1/2}}^{1} u^{3}\;du.
  • Integramos u^{3}: \int_{2^{-1/2}}^{1} u^{3}\;du = \left.\frac{u^{4}}{4}\right|_{2^{-1/2}}^{1} = \frac{1^{4}}{4}-\frac{(2^{-1/2})^{4}}{4}.
  • Note que (2^{-1/2})^{4}=2^{-2}=\tfrac{1}{4}. Então \frac{1}{4}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{16}.
  • Portanto \int_{0}^{\pi/4}\cos^{3}\varphi\,\sin\varphi\;d\varphi = \frac{3}{16}.

Passo 8

Concluir o cálculo do volume e simplificar.
  • Voltando à expressão do volume: V = 2\pi \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{16}.
  • Simplificando passo a passo: \frac{8}{3}\cdot\frac{3}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2},então V = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi.
  • Conclusão: o volume do sólido S é \pi.

Resposta

\pi

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