Escolha uma mudança de coordenadas adequada e calcule o volume do sólido S dado S é a intersecção da bola x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \leq 1 com o cone x^{2}+y^{2} \leq z^{2}, z \geq 0;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O sólido S é a interseção entre duas regiões:
A bola (esfera sólida) de centro (0,0,1) e raio 1, dada porx^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\leq 1.
O cone reto de vértice na origem, abertura de 45^\circ e parte superior, dado porx^{2}+y^{2}\leq z^{2},\qquad z\geq 0.
O que se pede: escolher uma mudança de coordenadas adequada e calcular o volume do sólido S.
Passo 2
Escolha da mudança de coordenadas e por que ela é adequada.
Observação rápida: o cone tem simetria arredondada em torno do eixo z e ângulo fixo entre geratrizes e o eixo z. Isso sugere usar coordenadas esféricas centradas na origem (0,0,0).
Recordando as coordenadas esféricas (convencionais):
r é a distância do ponto à origem.
\varphi é o ângulo polar (ângulo entre o raio e o eixo z, 0\leq \varphi\leq \pi).
\theta é o ângulo azimutal no plano xy (0\leq \theta<2\pi).
As fórmulas de conversão e o elemento de volume são:x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi,
dV = r^{2}\sin\varphi\;dr\,d\varphi\,d\theta.
Esta mudança é boa porque:
O cone fica simplesmente em termos de \varphi (um limite angular fixo).
A esfera (centrada em (0,0,1)) se transforma numa superfície radial r = f(\varphi) simples (ver próximo passo).
Passo 3
Expressar a superfície da esfera em coordenadas esféricas.
Escrevemos a equação da esfera em termos de r e \varphi. A esfera limite éx^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1.
Em esféricas, x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} e z=r\cos\varphi. Substituindo:r^{2}-2z+1 = 1 \quad\Rightarrow\quad r^{2}-2r\cos\varphi=0.
Isso fatoriza como r(r-2\cos\varphi)=0. A solução não-trivial para a superfície ér = 2\cos\varphi.
Conclusão: a esfera corresponde à superfície radial r=2\cos\varphi (válida para os \varphi onde \cos\varphi\ge 0, isto é \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]).
Passo 4
Expressar a condição do cone em termos de \varphi.
A condição do cone é x^{2}+y^{2}\le z^{2}. Em esféricas isso virar^{2}\sin^{2}\varphi \le r^{2}\cos^{2}\varphi \quad\Rightarrow\quad \tan^{2}\varphi \le 1.
Assim \varphi satisfaz 0\le \varphi \le \tfrac{\pi}{4} (lembre que z\ge 0 corresponde a \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}], e o cone reduz isso a [0,\tfrac{\pi}{4}]).
O ângulo azimutal \theta varre toda a volta: 0\le\theta\le 2\pi.
Para r, o interior do sólido fica entre a origem e a superfície da esfera, ou seja 0\le r\le 2\cos\varphi (para os \varphi considerados).
Passo 5
Montar a integral triple para o volume em coordenadas esféricas.
Usando os limites identificados:0\le \theta \le 2\pi,\qquad 0\le \varphi \le \tfrac{\pi}{4},\qquad 0\le r \le 2\cos\varphi.
O volume V éV=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{r=0}^{2\cos\varphi} r^{2}\sin\varphi\;dr\,d\varphi\,d\theta.
Passo 6
Fazer a integral em r.
Primeiro integramos em r:\int_{0}^{2\cos\varphi} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2\cos\varphi} = \frac{(2\cos\varphi)^{3}}{3} = \frac{8\cos^{3}\varphi}{3}.
Substituindo na integral do volume:V = \int_{0}^{2\pi} \! d\theta \;\int_{0}^{\pi/4} \frac{8\cos^{3}\varphi}{3}\,\sin\varphi\;d\varphi.
Podemos fatorar a constante em \theta-integração:V = 2\pi \cdot \frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/4}\cos^{3}\varphi\,\sin\varphi\;d\varphi.
Passo 7
Calcular a integral em \varphi por substituição.
Use a substituição u=\cos\varphi. Então du = -\sin\varphi\,d\varphi, isto é \sin\varphi\,d\varphi = -du.
Limites: quando \varphi=0 temos u=\cos 0 = 1; quando \varphi=\tfrac{\pi}{4} temos u=\cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2} = 2^{-1/2}.
A integral torna-se\int_{0}^{\pi/4}\cos^{3}\varphi\,\sin\varphi\;d\varphi = \int_{u=1}^{u=2^{-1/2}} u^{3}(-du) = \int_{u=2^{-1/2}}^{1} u^{3}\;du.