Mostre que o centróide do hemisfério 0 \leq z \leq \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} é o ponto C\left(0,0, \frac{3 R}{8}\right).
Passo 1
O enunciado dá a região sólida que é um hemisfério de raio R, descrita por
0 \le z \le \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}.
O que se pede é o centróide (baricentro) desse hemisfério, ou seja, as coordenadas do ponto C=(\bar x,\bar y,\bar z) do centro de massa assumindo densidade uniforme.
Informações relevantes que temos:
A região é simétrica em relação ao eixo z: para cada ponto (x,y,z) existe o ponto (-x,y,z) e (x,-y,z).
Por simetria espera-se que \bar x=0 e \bar y=0.
Só precisamos calcular \bar z, que é dado pela fórmula do centróide de um corpo uniforme:
Vou escrever a fórmula do centróide em termos matemáticos e explicar cada símbolo:
\bar z=\dfrac{1}{V}\iiint_{D} z\,dV.
Aqui:
D é a região do hemisfério (o sólido dado);
dV é o elemento de volume (a notação que usamos para integrar no espaço);
V=\iiint_{D} dV é o volume do hemisfério;
\bar z é a coordenada z do centróide (a média ponderada das alturas z com densidade constante).
Racionalização: como a densidade é constante, o numerador é apenas a integral do momento estático em relação ao plano z=0.
Passo 3
Escolho coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) porque a região tem simetria circular no plano xy e a superfície superior é z=\sqrt{R^{2}-r^{2}}. As conversões e o elemento de volume são:
Primeiro confirmo por simetria que \bar x=\bar y=0. Explicando:
\bar x=\dfrac{1}{V}\iiint_D x\,dV. Em coordenadas cilíndricas isso envolve um fator \cos\theta (pois x=r\cos\theta). Integrando \cos\theta de 0 a 2\pi dá zero, portanto \bar x=0.
Mesma argumentação para \bar y com \sin\theta. Assim