Mostre que o centróide do hemisfério 0 \leq z \leq \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} é o ponto C\left(0,0, \frac{3 R}{8}\right).

Passo 1

O enunciado dá a região sólida que é um hemisfério de raio R, descrita por
0 \le z \le \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}.
O que se pede é o centróide (baricentro) desse hemisfério, ou seja, as coordenadas do ponto C=(\bar x,\bar y,\bar z) do centro de massa assumindo densidade uniforme.
Informações relevantes que temos:
  • A região é simétrica em relação ao eixo z: para cada ponto (x,y,z) existe o ponto (-x,y,z) e (x,-y,z).
  • Por simetria espera-se que \bar x=0 e \bar y=0.
  • Só precisamos calcular \bar z, que é dado pela fórmula do centróide de um corpo uniforme:
\bar z=\dfrac{1}{V}\iiint_{\text{hemisfério}} z\,dV,é
onde V é o volume do hemisfério.

Passo 2

Vou escrever a fórmula do centróide em termos matemáticos e explicar cada símbolo:
\bar z=\dfrac{1}{V}\iiint_{D} z\,dV.
Aqui:
  • D é a região do hemisfério (o sólido dado);
  • dV é o elemento de volume (a notação que usamos para integrar no espaço);
  • V=\iiint_{D} dV é o volume do hemisfério;
  • \bar z é a coordenada z do centróide (a média ponderada das alturas z com densidade constante).
Racionalização: como a densidade é constante, o numerador é apenas a integral do momento estático em relação ao plano z=0.

Passo 3

Escolho coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) porque a região tem simetria circular no plano xy e a superfície superior é z=\sqrt{R^{2}-r^{2}}. As conversões e o elemento de volume são:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
Os limites da região D em cilíndricas são:
0\le\theta\le 2\pi,\qquad 0\le r\le R,\qquad 0\le z\le \sqrt{R^{2}-r^{2}}.

Passo 4

Primeiro confirmo por simetria que \bar x=\bar y=0. Explicando:
  • \bar x=\dfrac{1}{V}\iiint_D x\,dV. Em coordenadas cilíndricas isso envolve um fator \cos\theta (pois x=r\cos\theta). Integrando \cos\theta de 0 a 2\pi dá zero, portanto \bar x=0.
  • Mesma argumentação para \bar y com \sin\theta. Assim
\bar x=0,\qquad \bar y=0.

Passo 5

Agora calculo o numerador para \bar z:
M_z=\iiint_{D} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\int_{0}^{\sqrt{R^{2}-r^{2}}} z\,(r\,dz\,dr\,d\theta).
Faço a integral interna em z primeiro. Para r fixo,
\int_{0}^{\sqrt{R^{2}-r^{2}}} z\,dz = \left.\dfrac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{\sqrt{R^{2}-r^{2}}} = \dfrac{1}{2}\big(R^{2}-r^{2}\big).
Substituindo na integral tripla:
M_z = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} r\cdot \dfrac{1}{2}\big(R^{2}-r^{2}\big)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calculo a integral em r e em seguida em \theta. Primeiro em r:
\int_{0}^{R} r\cdot \dfrac{1}{2}\big(R^{2}-r^{2}\big)\,dr = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{R}\big(R^{2}r - r^{3}\big)\,dr.
Avalio termo a termo:
\int_{0}^{R} R^{2}r\,dr = R^{2}\cdot \dfrac{R^{2}}{2}=\dfrac{R^{4}}{2}, \qquad \int_{0}^{R} r^{3}\,dr = \dfrac{R^{4}}{4}.
Portanto
\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{R^{4}}{2}-\dfrac{R^{4}}{4}\right) = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{R^{4}}{4} = \dfrac{R^{4}}{8}.
Agora integro em \theta de 0 a 2\pi:
M_z = \int_{0}^{2\pi} \dfrac{R^{4}}{8}\,d\theta = \dfrac{R^{4}}{8}\cdot 2\pi = \dfrac{\pi R^{4}}{4}.

Passo 7

Agora preciso do volume V do hemisfério. Posso calcular pela integral
V=\iiint_{D} dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\int_{0}^{\sqrt{R^{2}-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Integral em z \sqrt{R^{2}-r^{2}}, então
V= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} r\sqrt{R^{2}-r^{2}}\,dr\,d\theta.
Faço a substituição u=R^{2}-r^{2}, du=-2r\,dr. Quando r=0 temos u=R^{2}, quando r=R temos u=0. Assim
\int_{0}^{R} r\sqrt{R^{2}-r^{2}}\,dr = -\dfrac{1}{2}\int_{R^{2}}^{0} \sqrt{u}\,du = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{R^{2}} u^{1/2}\,du = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{0}^{R^{2}} = \dfrac{1}{3}(R^{2})^{3/2}.
Como (R^{2})^{3/2}=R^{3}, obtemos
\int_{0}^{R} r\sqrt{R^{2}-r^{2}}\,dr = \dfrac{R^{3}}{3}.
Multiplicando por \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
V = 2\pi\cdot \dfrac{R^{3}}{3} = \dfrac{2}{3}\pi R^{3},
que é a fórmula conhecida para o volume de um hemisfério.

Passo 8

Finalmente calculo \bar z dividindo M_z por V:
\bar z = \dfrac{M_z}{V} = \dfrac{\dfrac{\pi R^{4}}{4}}{\dfrac{2}{3}\pi R^{3}}.
Cancelo \pi e R^{3} e simplifico:
\bar z = \dfrac{R}{4}\cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3R}{8}.
Juntando com \bar x=0 e \bar y=0, o centróide do hemisfério é
C\!\left(0,0,\dfrac{3R}{8}\right).

Resposta

C\!\left(0,0,\dfrac{3R}{8}\right)

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