Seja S o sólido em \mathbb{R}^{3} dado por
1-e^{x} \leq y \leq 3-e^{x}, 1-y \leq 2 z \leq 2-y, y \leq e^{x} \leq y+4 .
Determine o volume do sólido S.

Passo 1

O enunciado define o sólido S\subset\mathbb{R}^3 pelas três desigualdades
1-e^{x} \leq y \leq 3-e^{x},
1-y \leq 2 z \leq 2-y,
y \leq e^{x} \leq y+4.
O que o problema pede: determinar o volume do sólido S.
Informações relevantes dadas:
  • As desigualdades relacionam as três coordenadas x,y,z entre si, notadamente aparece e^{x}.
  • A desigualdade para z pode ser escrita como \dfrac{1-y}{2} \leq z \leq \dfrac{2-y}{2}.
  • O volume será o integral triplo do elemento de volume dV=dx\,dy\,dz sobre a região S.
  • Não há figura fornecida; todos os dados necessários estão nas desigualdades acima.

Passo 2

Primeira ideia prática: é conveniente analisar as restrições entre y e e^{x}. Para simplificar a notação, defino
t=e^{x},
que satisfaz t>0. Em termos de t as desigualdades que envolvem x ficam
1-t \leq y \leq 3-t, \qquad y \leq t \leq y+4.
Juntando essas duas, para um dado t o valor de y deve obedecer simultaneamente
\max\{\,1-t,\;t-4\,\} \le y \le \min\{\,3-t,\;t\,\}.
Para que exista algum y devemos ter
\max\{1-t,\;t-4\} \le \min\{3-t,\;t\}.
Agora vamos analisar como comparar esses quatro expressões dependendo de t. As transições ocorrem quando duas dessas expressões se igualam; calculemos esses pontos-chave:
1-t = t \quad\Rightarrow\quad t=\tfrac12,
3-t = t \quad\Rightarrow\quad t=\tfrac32,
1-t = t-4 \quad\Rightarrow\quad t=\tfrac52,
t-4 = 3-t \quad\Rightarrow\quad t=\tfrac72.
Esses valores particionam o eixo t>0 em intervalos nos quais a ordem entre as expressões é fixa. Avaliando ordens nos intervalos, obtemos as faixas não vazias de t:
  • Para \tfrac12 \le t \le \tfrac32: tem-se \min\{3-t,t\}=t e \max\{1-t,t-4\}=1-t. Logo
1-t \le y \le t.
  • Para \tfrac32 \le t \le \tfrac52: tem-se \min\{3-t,t\}=3-t e \max\{1-t,t-4\}=1-t. Logo
1-t \le y \le 3-t.
  • Para \tfrac52 \le t \le \tfrac72: tem-se \min\{3-t,t\}=3-t e \max\{1-t,t-4\}=t-4. Além disso, a condição de existência exige t-4\le 3-t, que dá t\le \tfrac72; portanto neste intervalo
t-4 \le y \le 3-t.
Fora do intervalo \tfrac12 \le t \le \tfrac72 não há valores de y compatíveis, logo t (isto é, e^{x}) varia entre \tfrac12 e \tfrac72.

Passo 3

Voltemos a x: como t=e^{x}, os limites correspondem a
x\in\big[\ln(\tfrac12),\ln(\tfrac72)\big].
As três faixas em t se traduzem nas três faixas em x:
\begin{aligned} &\text{(I)}\quad x\in\big[\ln(\tfrac12),\ln(\tfrac32)\big],\quad &&1-e^{x}\le y\le e^{x},\\\ &\text{(II)}\quad x\in\big[\ln(\tfrac32),\ln(\tfrac52)\big],\quad &&1-e^{x}\le y\le 3-e^{x},\\\ &\text{(III)}\quad x\in\big[\ln(\tfrac52),\ln(\tfrac72)\big],\quad &&e^{x}-4\le y\le 3-e^{x}. \end{aligned}
Agora a desigualdade em z é simples e independente de x:
\frac{1-y}{2}\le z \le \frac{2-y}{2}.
Note algo muito útil: a medida (comprimento) do intervalo em z para um y fixo é
\frac{2-y}{2}-\frac{1-y}{2}=\frac{1}{2}.
Ou seja, o comprimento em z é constante (igual a \tfrac12), independentemente de y. Isso simplifica muito o cálculo do volume: integrar em z primeiro só multiplica por \tfrac12.
Pelo Teorema de Fubini, o volume V é a integral iterada
V=\iiint_{S} dV = \int_{x\text{ intervalo}} \int_{y\text{ intervalo}} \int_{z=(1-y)/2}^{(2-y)/2} dz\, dy\, dx.
Integrando em z obtemos um fator \tfrac12:
V=\frac{1}{2}\int_{x\text{ intervalo}} \int_{y\text{ intervalo}} dy\, dx.
Portanto só precisamos integrar a largura em y (a diferença y_{\text{sup}}-y_{\text{inf}}) nas três faixas de x.

Passo 4

Calcule a largura em y em cada faixa:
  • Faixa (I): y_{\text{sup}}=e^{x}, y_{\text{inf}}=1-e^{x}. Diferença:
e^{x}-(1-e^{x})=2e^{x}-1.
  • Faixa (II): y_{\text{sup}}=3-e^{x}, y_{\text{inf}}=1-e^{x}. Diferença:
(3-e^{x})-(1-e^{x})=2.
  • Faixa (III): y_{\text{sup}}=3-e^{x}, y_{\text{inf}}=e^{x}-4. Diferença:
(3-e^{x})-(e^{x}-4)=7-2e^{x}.
Assim o volume é
V=\frac{1}{2}\Bigg( \int_{\ln(\tfrac12)}^{\ln(\tfrac32)}(2e^{x}-1)\,dx + \int_{\ln(\tfrac32)}^{\ln(\tfrac52)}2\,dx + \int_{\ln(\tfrac52)}^{\ln(\tfrac72)}(7-2e^{x})\,dx \Bigg).
Agora calculamos cada integral separadamente.
Primeira integral:
\int(2e^{x}-1)\,dx=2e^{x}-x.
Logo
\int_{\ln(\tfrac12)}^{\ln(\tfrac32)}(2e^{x}-1)\,dx =\big[2e^{x}-x\big]_{\ln(\tfrac12)}^{\ln(\tfrac32)} = \big(2\cdot\tfrac32-\ln(\tfrac32)\big)-\big(2\cdot\tfrac12-\ln(\tfrac12)\big).
Simplificando:
= (3-\ln(\tfrac32))-(1-\ln(\tfrac12))=2-\ln(3).
(Usei \ln(\tfrac32)-\ln(\tfrac12)=\ln\!\big(\tfrac{3/2}{1/2}\big)=\ln 3.)
Segunda integral:
\int_{\ln(\tfrac32)}^{\ln(\tfrac52)}2\,dx = 2\big(\ln(\tfrac52)-\ln(\tfrac32)\big)=2\ln\!\big(\tfrac{5}{3}\big).
Terceira integral:
\int(7-2e^{x})\,dx=7x-2e^{x},
portanto
\int_{\ln(\tfrac52)}^{\ln(\tfrac72)}(7-2e^{x})\,dx =\big[7x-2e^{x}\big]_{\ln(\tfrac52)}^{\ln(\tfrac72)} =7\big(\ln(\tfrac72)-\ln(\tfrac52)\big)-2\big(\tfrac72-\tfrac52\big).
Simplificando:
=7\ln\!\big(\tfrac{7}{5}\big)-2.

Passo 5

Some as três integrais:
I_1+I_2+I_3=(2-\ln 3)+2\ln\!\big(\tfrac{5}{3}\big)+(7\ln\!\big(\tfrac{7}{5}\big)-2).
As constantes 2 e -2 se cancelam, ficando
I_1+I_2+I_3=-\ln 3 + 2\ln\!\big(\tfrac{5}{3}\big) + 7\ln\!\big(\tfrac{7}{5}\big).
Agrupando logaritmos (lembrando que a\ln b=\ln(b^{a}) e \ln a-\ln b=\ln(a/b)):
I_1+I_2+I_3 = \ln\!\left(\frac{(5/3)^{2}\,(7/5)^{7}}{3}\right) = \ln\!\left(\frac{5^{2}\,7^{7}}{9\,5^{7}\cdot 3}\right) = \ln\!\left(\frac{7^{7}}{27\,5^{5}}\right),
pois 9\cdot 3=27 e 5^{2}/5^{7}=1/5^{5}.
Portanto o volume é
V=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{7^{7}}{27\cdot5^{5}}\right).
Podemos reescrever 27=3^{3}, obtendo uma forma alternativa:
V=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{7^{7}}{3^{3}5^{5}}\right).
Outra forma equivalente, expandindo os logaritmos:
V=\frac{1}{2}\big(7\ln 7 -5\ln 5 -3\ln 3\big).

Resposta

\displaystyle V=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{7^{7}}{3^{3}5^{5}}\right)

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