Seja
o sólido em
dado por
Determine o volume do sólido
.
Passo 1
O enunciado define o sólido
pelas três desigualdades
O que o problema pede: determinar o volume do sólido
.
Informações relevantes dadas:
- As desigualdades relacionam as três coordenadas
entre si, notadamente aparece . - A desigualdade para
pode ser escrita como . - O volume será o integral triplo do elemento de volume
sobre a região . - Não há figura fornecida; todos os dados necessários estão nas desigualdades acima.
Passo 2
Primeira ideia prática: é conveniente analisar as restrições entre
e
. Para simplificar a notação, defino
que satisfaz
. Em termos de
as desigualdades que envolvem
ficam
Juntando essas duas, para um dado
o valor de
deve obedecer simultaneamente
Para que exista algum
devemos ter
Agora vamos analisar como comparar esses quatro expressões dependendo de
. As transições ocorrem quando duas dessas expressões se igualam; calculemos esses pontos-chave:
Esses valores particionam o eixo
em intervalos nos quais a ordem entre as expressões é fixa. Avaliando ordens nos intervalos, obtemos as faixas não vazias de
:
- Para
: tem-se e . Logo
- Para
: tem-se e . Logo
- Para
: tem-se e . Além disso, a condição de existência exige , que dá ; portanto neste intervalo
Fora do intervalo
não há valores de
compatíveis, logo
(isto é,
) varia entre
e
.
Passo 3
Voltemos a
: como
, os limites correspondem a
As três faixas em
se traduzem nas três faixas em
:
Agora a desigualdade em
é simples e independente de
:
Note algo muito útil: a medida (comprimento) do intervalo em
para um
fixo é
Ou seja, o comprimento em
é constante (igual a
), independentemente de
. Isso simplifica muito o cálculo do volume: integrar em
primeiro só multiplica por
.
Pelo Teorema de Fubini, o volume
é a integral iterada
Integrando em
obtemos um fator
:
Portanto só precisamos integrar a largura em
(a diferença
) nas três faixas de
.
Passo 4
Calcule a largura em
em cada faixa:
- Faixa (I):
, . Diferença:
- Faixa (II):
, . Diferença:
- Faixa (III):
, . Diferença:
Assim o volume é
Agora calculamos cada integral separadamente.
Primeira integral:
Logo
Simplificando:
(Usei
.)
Segunda integral:
Terceira integral:
portanto
Simplificando:
Passo 5
Some as três integrais:
As constantes
e
se cancelam, ficando
Agrupando logaritmos (lembrando que
e
):
pois
e
.
Portanto o volume é
Podemos reescrever
, obtendo uma forma alternativa:
Outra forma equivalente, expandindo os logaritmos: